Question

ぽよ

ab=gl より ab=8×240 ってならないのは何故ですか？
どうしてa=8a' b=8b' としなければいけないのかが分かりません

次の条件を満たす2つの自然数a, bの組をすべて求めよ。ただし、 aくbとする。
| (3) 最大公約数が8,最小公倍数が 240
((3) 大阪経大)(p.484 EX78
(3) 最大公約数が8であるから, a=8a', b=86'と表される。
ただし,a', b' は互いに素な自然数で α'<b
このとき, a, b6の最小公倍数は 8a'b'であるから
そa=ga', b=gb'
そ1=ga'b
8a'6'=240 すなわち a'b'=30 ②
0, 2を満たすα', b'の組は
そa'<bに注意。
よって
(a, b)=(8, 240), (16, 120), (24, 80), (40, 48) |←a=8a', b=86"

整数の性質

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

みと

＞ab=gl より ab=8×240 ってならないのは何故ですか？

●「ab＝gl より ab＝8×240」となっています

●ただ、そのまま使って解いていないだけです。

＞どうしてa=8a' b=8b' としなければいけないのかが分かりません

●a＝8a'，b＝8b' としなければいけないわけではありません。

●このように、すると解きやすいだけです。

★「ab=gl より ab=8×240」として場合(手間がかかりますが解けます)

2つの自然数a，bで(a＜b）

　最大公約数g＝8，最小公倍数ℓ＝240で、ab=gℓより

　　ab＝8×240＝1920

　a＜b　の条件で、積1920となるabを考えると

　　1×1920，2×960，3×640，4×480，5×384，6×320，8×240，10×192

　　12×160，15×128，16×120，20×96，24×80，30×64，32×60，40×48

　このうち、公約数が8となるものは

　　8×240，16×120，24×80，40×48

　いずれも、公倍数が240となる事を確認して

　　(a，b)＝(8，240)，(16，120)，(24，80)，(40，48)

Answer 2

lv0043

2つの正の整数a、bにおいて、ab=GCM*LCM の関係があるので、ab=8*240=1920 としても構いません。
ただ、ab=720となる aとbを導くときに、(a,b)=(1,1920) のようなものは除外する必要がありますよね。
GCM=8なので。
つまり、(a,b)=(8,240), (16,120), (24,80), (32, 60), (40,48) のように a, bを GCMの倍数となるように選ぶ
必要があります。ちなみに、(32,60) は、aとしては　8*4 なのでOKですが、bとしては 8*n=60となる整数nがないので
実はNGです。
うっかり、(32,60)のような間違った解をだしてしまう恐れがある点が不利かもしれません。
もちろん、(32,60)は解として適切でないと除外できるなら、何ら問題はないでしょう。

lv0043

「ただ、ab=720となる aとbを導くときに…」は
「ただ、ab=1920となる aとbを導くときに…」の誤記です。