Question

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標準問題精講 数学1A 116番（P.226）

関数の決定についての質問です。

（1）において、f(x)はどの値も固定しない。
とありますが、どういうことなのでしょうか？
また、P.267の上から13行目から（？の部分）の文章が理解できません。
全体的に何を証明するべきかわかりません。

問題が求めていることを、具体的にご教授ください。

266 第10章 総合問題
標問 116 関数の決定
合
実数から実数への関数f(z) は,次の2つの条件を満たす。
*任意の実数x, yに対して, If(z)-f(y)1=lエ-yl
エが整数のとき, f(x) も整数
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) f(x)はどの値も固定しない, すなわち, 任意の実数zに対してf(x) は
ェと異なるとき, f(x)=z+n (nは0以外の整数) となることを示せ。
(2) f(x) が1点 zoのみを固定するとき, すなわち, ただ1つの実数 Ioに対
して f(zo)= zo となるとき, Ioを f(0) を用いて表せ.
(3) f(x)が2点以上の点を固定するとき, すなわち, 少なくとも2つの実数
I1, I2 (エキ2) に対して f(x)=a かつ f(x2)=22 となるとき, 任意の
実数zに対して f(x)=x となることを示せ.
( いの
ふそさ
(福井大)
11

S 。
| 116 関数の決定
実数から実数への関数f(z) は, 次の2つの条件を満たす。
*任意の実数z, yに対して, If(z)-f(y)|=lz-yl
*2が整数のとき, f(x) も整数
このとき,以下の問いに答えよ。
(1) f(z) はどの値も固定しない, すなわち, 任意の実数zに対して f(z)14
と異なるとき,f(x)=x+n (nは0以外の整数)となることを示
(2) f(z) が1点zoのみを固定するとき, すなわち, ただ1つの実数 Ioに対
して f(zo)= zo となるとき, Ioを f(0) を用いて表せ。
(3) f(x)が2点以上の点を固定するとき, すなわち, 少なくとも2つの実粉
21, Z2 (2)キ22) に対して f(z)=a: かつ f(x2)=x2 となるとき, 任意の
実数zに対してf(x)=x となることを示せ。
(福井大)
精講
1F(z) -f(y)|=lz-ylのyに0を代入してみると
IF(z)-f(0)|=lz|
(S-mS)mS
となります。
よって,f(z)-f(0)=±x
したがって,f(z)=D±z+f(0)
が成り立つことがわかります。
ここで注意しなければいけないのは,
すべての実数ェに対して, 「f(z)=ェ+f(0) または f(x)=-x+f(0)」が
成り立つのであって,
「すべての実数zに対して f(z)=+f(0)」
または「すべての実数ェに対して f(x)=-2+f(0)」
が成り立つとは限らないということです。
つまり,あるエに対しては f(x)=ェ+f(0) が成り立ち,またある:に対して
は, f(x)=-r+f(0) が成り立つかもしれないということです。
しかしながら,実は(*) が成り立つことが証明できます。
のとき a=±b
解答
(1)_|f(z)-f(y)1=|エ-y|にy%3D0 を代入すると
I/(z)-f(0)1=lzL
よって, f(z)-f(0)=±x_
したがって,

f(x)=z+f(0)または f(r)=-ェ+f(0)
ここで、
f(a)=a+f(0),f(b)=-b+f(0)
が成り立つ0でない実数 a, bが存在すると仮定すると、
f(a)-f(b)=a+b
より、
LE(a)-f(b)|=la+b|
条件より、」f(a)-f(b)|=la-b| であるから
la+bl=la-bl
よって,a+b=±(a-b)
このとき,a=0 または 630 となり矛盾が生
じる。
ta+b=a-b のとき b=0,
a+b=-(a-b) のとき
a=0 となる
したがって
0以外のすべてのエに対して, f(z)=D2+f(0)
または、
0以外のすべてのエに対して, f(x)=-x+f(0)
が成り立つ、
なお,O, ②ともにエ=0 のときも成立する。
ののとき,
f(x)=r → -ェ+f(0)=x → =
ュー(0)
2
よって, このとき f(z)は1点→f(0) のみ固定する.
ののとき,
f(x)=x → r+f(0)=x→ f(0)=0
したがって, f(0)=D0 ならばすべてのエに対して f(x)=r が成り立ち、
f(0)キ0 ならばすべての.cに対して f(x)キェ が成り立つ、
以上より,f(z) がどの値も固定しないとき,
f(z)=z+f(0), f(0)キ0
f(0) は整数であるから, これをnと表すと,
f(z)=z+n (nは0以外の整数)
(2) f(x)が1点のみを固定するとき, f(z)=-a+f(0) であり, f(zo)=zo と
なる Zoは
.まま
エ=(0)
(3) f(x) が2点以上を固定するのは, (1), (2)の議論より
f(z)=ェ+f(0) かつ f(0)=0 のときであるから,
f(z)=£
第10章

標準問題精講1a 数学 関数の決定 標問 1a 証明

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

peekAboo

関数には、引数xに作用して、xを新しい量f(x)に変換するという働きがあります。
（大学数学でいう写像）

問題文のf(x)はxを"固定"しないというのは
f(x) not=　x
であるという意味です。

f(x)=xとなれば、fがxに作用したのにも関わらず値が変わらない
つまり、値が固定されると表現しています。

??の部分についてですが、
その上部の議論でf(x)の関数形は2種類に絞られることが明らかとなっています。
これをそれぞれg(x), h(x)とすると、
f(x)は連続関数であることが保証されていないので、
g(x)とh(x)をxの値によって行ききする関数である可能性があります。

e.g.
あるx=aの時は
f(a)=g(a)
別のx=bの時は、
f(b)=h(b)

??の部分ではこのような混在が生じないことを述べています。

。

ご回答、ありがとうございます。
具体例を使った非常にわかりやすい説明ありがとうございました。
また機会がありましたら、よろしくお願い致します。

peekAboo

理解しにくい問題かと思いますが、引き続き頑張ってください(^^)