△ABCにおいて各辺の垂直二等分線は一点で交わることを証明せよ。この解き方を教えて下さい。

Question

塾講師 「たおたん先生」 · Accepted Answer

辺AB、辺BCの中点をそれぞれ点点M、点Nとする。
辺AB、辺BCの垂直二等分線をそれぞれ線m、線nとする。

辺AB、辺BCがそれぞれ同一の三角形の辺なので線mと線nは必ず1点で交わる。その交点をPとする。

△AMPと△BMPは2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同である。(AM=BM、MPは共通、∠AMP= ∠BMP=90°)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので
AP=BP・・・①

同様に
△BNPと△CNPも2辺とその間の角がそれぞれ等しいので合同である。(BN=CN、NPは共通、∠BNP= ∠CNP=90°)
合同な図形の対応する辺の長さは等しいので
BP=CP・・・②

①と②よりAP=CP
よって△PACはAP=CPの二等辺三角形である。二等辺三角形の頂角より大変に引いた垂線は二等分線になるので辺ABと辺BCの垂直二等分線の交点Pから辺ACに下ろした垂線は辺ACの二等分線になる。
以上より三角形の各辺の垂直二等分線は1点で交わる。

なお · Answer

うーん、外心だからというのが一番簡単だと思いますけど…。あれだったら、ベクトルを使えばすぐに証明できると思います。

回答