Question

なごみ

この問題の解答を手書きで書いた紙の赤い部分のところが、模範解答と書き方が違っているので、合っているか見て欲しいです！よろしくお願いしますm(_ _)m

数 234. △
座標平面上の曲線 C:y=x-x を考える。 座標平面上のすべての点Pが次の条件()
を満たすことを示せ。
(i) 点Pを通る直線 l で, 曲線Cと相異なる3点で交わるものが存在する。
[22 東京大理系 改]

※良
※ス
し
4(1-1)
Sの表面積 _
1+1 4(1-1)
=
① ② から
Vの表面積
(+1) (+1)2
4(1-1)
(1)=172 とおくと
4(+1)2-4(1-1)・2(+1)
4(3-1)
f'(l)=
(1+1)
(1+1)3
f' (1) = 0 とすると
1=3
()
u'v-uv
のとりうる値の範囲は1>1であり,
I
1 ….. 3
I>1 における f (I)の増減表は右のよ
f'(l)
+
0
うになる。
1より大きいから>1
母線の長さは底面の半径
Sの表面積
f(l)
1
7
よって、の表面積
-は 13 で最大値
2
←f(3) =
4(3-1)
(3+1)*
1/2をとる。
234 3次関数のグラフと異なる3点で交わる直線の存在〉
直線 y=px+g が3次関数y=g(x) のグラフと異なる3点で交わる
⇒3次方程式g(x)-(px+g)=0が相異なる3つの実数解をもつ
⇒ 3次関数f(x)=g(x)-(px+g) の極大値と極小値の符号が異なる
(極大値)×(極小値) < 0
(1) 点Pの座標を (a, b) とおく。
点Pを通る傾きの直線 y=m(x-α) + b と曲線Cの共有点の
座標は, 方程式
すなわち
x-x=m(x-a)+6
x-(m+1)x+am-b=0 ①
の実数解である。
①が相異なる3つの実数解をもつとき, 直線lと曲線Cは相異なる
3点で交わるから,任意の実数a, b に対して, ① が相異なる3つ
の実数解をもつようなm が存在することを示す。
(a)=-(m+1)a+am-b, ƒ(-a)=-
=1/2/3(m
(m+1)x+am-b
f(x)は3次関数であるから, ①が相異なる3つの実数解をもつた
めの必要十分条件は
すなわち
f(a)f(-a)<0
1/2(m+1)+am-b}{{ (m+1)+am-6}<0
-11 (m+1)x²+(am-b) < 0
よって
m+1
3
を代入すると
-2017(m+1)+(am-b)<0
......②
②の左辺はの3次式で,mの係数の符号は負である。
ゆえに、任意の実数 α, b に対して, m を十分に大きくとれば,②
が成り立ち、 は相異なる3つの実数解をもつ。
したがって、座標平面上のすべての点Pが条件(i) を満たす。
235 〈方程式の実数解の個数〉
←
極大
y=f(x)
② の左辺は,
と表され,
0
極小
のとき
∞に発散することから
も説明できる。
f(x)=αの形に変形して, y=f(x) のグラフと直線 y=aの共有点の問題に帰着。
x=3は方程式 e1x2=α(x-3)の解ではないから、両辺をx-3で
割って
e
=a
x-3
f(x)=-
とすると
(*) — — *e* ·(x-3)-e
f'(x)=
(x-3)2
(x-1)(x-2)-*
2(x-3)2
f(x) の増減表は次のようになる。
XC
...
1
...
2
... 3
f'(x) = 0 とすると
x=1,2
①の左辺を f(x) とおくと
f'(x) = 3x²-(m+1)
m>-1 のとき,α=1 m+1
とおくと, f'(x)=0の解は
3
x=±α と表せる。
このとき,f(x)の増減表は右の
ようになる。 ここで,xの多項
式f(x) を f'(x)で割ると,商
は1/2x, 余りは
x
-α
a
f'(x) +
0
-
0
+
-1/2 (m+1)x+am-b であるから
f(x) 極大 極小 >
f(x)=f(x)123x1(m+1)x+am-b
f'(x)=f'(-a)=0であるから
また
f'(x) -
f(x) \
0 + 0
-
-
lim_f(x)=-∞, lim_f(x) =8,
x-3-0
limf(x) = 0
x too
x3+0'
ゆえに,y=f(x) のグラフは右の図の
ようになる
与えられた方程式の異なる実数解の個数
は、関数 y=
e
x-3
のグラフと直線
y=a の共有点の個数に一致する。
lime=0, lim=0
1-19
ef
より lim
-=0
012
3
直線y=a を上下に動か
して,y=f(x) のグラフ
との共有点の個数を調べる。
y=a
00
T

点p(tiピーナ)とおく。
直線の方程式は実数を用いて.
y=m(x-t)-ピ+t.
=mx-mt-t3+t
である。直線と曲線Cの共有点は、
3
x-x=mxレー
mt-t+t.
x-(1+m)x+mt+t3-t=0
f(x)=xー(1+m)x+mt+ピーtとする。
f(x)=3x-(a+1)
f(x)=f(x)×(1/x)
3
1/2x
234
+Ax+B.-① 3x²-(a+1)x-(1+m)x+mt+ピーt
x²-1/2x(a+1)
3
x1/13a+1/3-m-1)+mt+tit
A
B.
f((x)=0 E) x= ± √√√3
atl
②
①、②より
Fld
atl
atl
=
グレー)(厚)(A+B)
at
B^_
at
A2
2
より
Bは定数であり、lim A=
0700
B2-G+A2COとなるのが存在する
3
ので、f(x)=0の解は必ず異なる3つ
であるので、これより示せた。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

・mがaに変わっています
　というかmとaが混同してよくわかりません
　a=mだとすればm→∞のときA→-∞？
・「任意のtに対して〜を満たすmが存在する」
　という論理と言い回しが不可欠です
・その他、式の羅列になってしまっていて、
　それらが何を意味する式なのか伝わりません
・これだと「座標平面上の任意の点を通るl」ではなく
　「C上の任意の点を通るl」の話しかできていません

これらに目をつぶれば、
赤い部分は模範解答と方向性は大きく違わない、
と思います

なごみ

途中で書き直していて、aとmが混同してしまっていました。大変申し訳ございません。また、すごく細かく見ていただきありがとうございました！指摘していただいたところを直したいと思います！