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「1≦x≦4を満たすすべての実数xに対してf(x)<g(x)が成り立つような定数aの範囲」という意味を「同じxに関してf(x)<g(x)が成り立つ」という意味だと捉えた場合・・・ア
(多分、問題の流れ的にこの解釈ではないと思いますが一応)
「1≦x≦4を満たすすべての実数xに対してf(x)<g(x)が成り立つような定数aの範囲」
↓
「f(x)-g(x)の値が1≦x≦4の範囲で負となるような定数aの範囲」
↓
「(x^2-4x-4)-(-x^2+10x+a^2+4a-25)
の値が1≦x≦4の範囲で負となるような定数aの範囲」
↓
「2x^2-14x-a^2-4a+21<0の解が1≦x≦4となるような定数aの範囲」
↓
「y= 2x^2-14x-a^2-4a+21が1≦x≦4の範囲でx軸より下側にくるような定数aの範囲」
y= 2x^2-14x-a^2-4a+21
=2(x^2-7x)-a^2-4a+21
=2(x-7/2)^2-a^2-4a-49/2+21
=2(x-7/2)^2-a^2-4a-7/2
軸x=7/2 (=3.5)
よって下に凸のグラフなので1≦x≦4の範囲で軸x=7/2から最も離れているx=1の時にグラフがx軸より下側にあれば、1≦x≦4の全ての部分でグラフはx軸より下側になる。
x=1の時、y= 2x^2-14x-a^2-4a+21は
y=2-14-a^2-4a+21
y=-a^2-4a+9
-a^2-4a+9<0
a^2+4a-9>0
これを解いても解答欄の形には合わないのでやはり「ア」の解釈ではないようです。
「1≦x≦4を満たすすべての実数xに対してf(x)<g(x)が成り立つような定数aの範囲」という意味を「1≦m≦4を満たす実数m、1≦n≦4を満たす実数nに関してf(m)<g(n)が成り立つ」という意味だと捉えた場合・・・イ
「1≦x≦4の範囲でのf(x)の最大値-4」が「1≦x≦4の範囲でのg(x)の最小値a^2+4a-16」より小さければ良いので
(「fチームで1番強い選手」が「gチームの1番弱い選手」より弱ければ、fチームのどの選手とgチームのどの選手を戦わせても絶対にgチームの選手が勝つ的なイメージ)
-4<a^2+4a-16
0<a^2+4a-12
0<(a+6)(a-2)
よって a<-6、2<a