Question

もちも

(1)~(3)の証明問題がわかりません。回答でなくヒントや道筋でも良いので教えて頂きたいです。(1番に関しては成り立たないのでは、、、？と思っています、反例がみつかってはいないですが)

(1) {an}を増加数列,{b,}を減少数列とし,an S bn (n= 1,2, ) が成り立つとする。
このとき,{an}, {bn} はともに収束し, lim an
lim bn が成り立つことを示せ。
n→0
n→0
(2) 数列 {cn}と関数 f(z) について,lim zn = a, lim f(z) = 1 ならば,lim f(en) = 1
n→0
C→a
n→0
であることを示せ。
(3) 閉区間 [a, b] 上の連続関数 f(z)と実数kがf(a) <k<f(b) をみたすとする。
このとき,c=
sup{z € [a, b| | f(z) < k} に対して,f(c) = k が成り立つことを示せ。

大学 大学数学 数学 極限 ε-n ε-δ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

めっちゃ簡単なんで、まずは２番から

哲治

関連ページをアップしておきます。
一番も正しいです。反例なんかありません。

もちも

ここの、これはすなわちのところに詳しい式変形等はいらないのですか？
１番は正しいのですね、、、

哲治

全く必要ないですけれども？
示しているのは→のお話なんで。limf(x)=bの仮定からですね。

もちも

なるほど、(2)わかりましたありがとうございます

哲治

一番もbn-an→0を示せばいいです。
an,bnが互いを上下から抑えてるので、有界な単調列は収束するからそれぞれ自体は収束するのは簡単にわかるので。

哲治

３番も中間値の定理とsupの定義考えるだけですよ。
今日はこれからワクチン接種に出かけるので悪いけれども模範解答は作りません。

もちも

例えばですけど、anが-1に収束してbnが1に収束した場合、常にan≦bnは成り立ちますし収束しますが、an(n→∞)=bn(n→∞)とはならないと思うのですが、こういったことは起こる可能性はないですか？

もちも

模範解答に関しては大丈夫です、ありがとうございます。

Crystal Clear

an=-1-1/n
bn=1+1/n
が反例になると思います

哲治

失礼しました。
確かにクリスタルクリアさんのおっしゃる通りですね。
問題自体の不備なのでしょうか？
それともan≦bnなんでn→∞で等号成立みたいなことなのでしょうか？

Crystal Clear

不備だと思います

哲治

ありがとうございました。勉強になりました。
最初から思い込みでanとbnが一致するグラフしか思い浮かんでいませんでした。
数学科なのにお恥ずかしいです。

もちも

御二方ともありがとうございます