Question

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①回答の9行目の、P≧1はどうして条件に追加されたのでしょうか。P≦1はなぜ含まれないのでしょうか。

②P≧1のとき、Pの値が1に定まる理由が知りたいです。

回答お願いします。

有理数を解にもつと仮定 →x=(2.9は土1以外に公約数をもたない整数
高次方程式が有理数解をも
例題 54
方程式 x°+2x°+2=0 は有理数の解をもたないことを示せ。
Action》「~ない」 の証明は, 背理法を利用せよ
p
x=を方程式に代入して整理し, 次のような矛盾を導けないだろうか?
矛盾
目標の言い換え
[カ= (nの倍数)
la= (n の倍数)
日 解答を考えながら, 必要に応じて条件」
「(左辺)
(右辺)
を厳しくする。
(m の倍数)
(m の倍数でない)
に矛盾
例
解この方程式が有理数の解をもつと仮定する。すなわち,
O円
思考のプロセスの
に,解答9行目で
おo を絞り込むために)
(カ,qは土1以外に公約数をもたない整数で,p>1)
x=
が解であるとする。
(1- としておく。
38ts
°+2p°+2が =0 (1-ロ+f5- +
3
2
与式に代入すると() +2-(4)+2=0
た
両辺にがを掛けると
= -2p(g°+が)
…0
pでくくり,積の
くることで,両辺の周
あるいは,何の倍
るか考えることができ
よって
かとqは±1以外に公約数をもたないから, pとqも±1
以外に公約数をもたない。
21であるから
のに代入すると
g°+1は整数であるから, ②よりは偶数である。
よって, qも偶数である。
ゆえに,② の左辺は8の倍数であるが, °'+1 は奇数であ
るから,右辺は8の倍数にはならず矛盾。
したがって, 方程式 x°+2x°+2=0 は有理数の解をもた0
p=1
「g°が偶数=(欄
は真。対偶を用いて、
明できる。
人19が偶数であることが
は偶数,よって
は奇数である。
ない。
(別解)(6行目までは同様)
b,qは整数であるから, は偶数であり, qも偶数である。
q=2q とおくと, ① は
1
8q° = -2p(4q°+が)
4g° = -(4g° + が)
pとqは±1以外に公約数をもたないから,かは偶数で
なく、dとも±1以外に公約数をもたない。
よって,p=1 であり, ② は
左辺は4の倍数であるが, 右辺は4の倍数ではないから
矛盾。
Oは=
4g° = - (4g° + 1)
18
思考のプロセス

高次方程式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HS

ここで追加されたわけではありません。
2行目でp≧1と決めておいたからです。

2行目でp≧1と決めた理由は
右欄にも書いてありますが、
9行目でpを1だけに絞るため。

そもそもx=q/pについて
+/+と-/-の2通りの可能性を残すことに
メリットがありません。
正であるp,qを使ってx=q/pと表すのが自然です。

①より、pが何かの素数の倍数なら
qもその素数の倍数。
しかし、いま仮定よりp,qは±1以外の公約数を
もたないのでpは1か-1しかない。
このまま進めてもよいが、序盤にp≧1としてあるから
p=1しかない。

。

ありがとうございます。
理解できました🙏