Question

まさ

数学的帰納法の質問です。

〔2〕で「n≦kのとき成り立つとすると」と考えていますが、そもそもn≦kが一体何を表しているのかと分かりませんし、なぜn≦kで仮定するのかも分かりません。

回答よろしくお願いします。

香要 例題141 nskの仮定
(a」+az+……+an)=a°+a2+……+a?
針>自然数nの問題であるから, 数学的帰納法で証明する。
り立つことを仮定していないこととなり, ② が作れなくなってしまう。 したがって, nSk
1, [2] から,すべての自然数nに対して an=nは成り立つ。
検討) nSkのときを仮定する数学的帰納法-
|数列 {an}(ただし an>0) について, 関係式
となるが,「n==kのとき成り立つ」 と仮定した場合, as-i=k-1, a-z=k-2, -…… が成
剤 (an) (ただし an>0)について, 関係式
597
OOO00
n
n=k+1のときを書き出すと
(1+2+…+k+ah+1)=D1°+2°+…+紀+a.?
の仮定が必要。
そこで,次の[1], [2] を示す数学的帰納法を利用。
[1] n=1のとき成り立つ。
[21 nSkのとき成り立つと仮定すると, n=k+1のときも成り立つ。
*せもてなせ?
CHART 数学的帰納法 nSkで成立を仮定する場合あり
解答
] n=1のとき, a?=a°, a>0から
ゆえに, n=1のとき an=nは成り立つ。
12] n<kのとき,an=nが成り立つと仮定する。
n=k+1 のときを考えると
{(1+2+……+k)+ak+1}°=1°+2°+…+ポ+ah+i
(Dの左辺)=(1+2+…+k)°+2(1+2+……+k)as+s+as+
Q=1
4n=1のときの証明。
4nSkの仮定。
4n=k+1のときの証明。
0
-(+1) +2は+1)autaw}
k(k+1)ak+1+ak+"=Qk+i°
ak+1(ah+1+k){ax+1一(R+1)}=0
0の右辺と比較して
ゆえに
4+1>0であるから
ak+1=k+1
)nSkのときを仮定する数学的帰納法
=2(aan taan-1t……+a:a) で定められる数
ことを証明せよ。

Answer 1

ブドウくん

n≦kで仮定する帰納法は人生帰納法とか呼ばれたりします(生まれてから(n=1から)現在(n=k+1)までというシャレみたいなものなので、正式な言葉ではない)。普通の帰納法と区別する目的で、この言葉を用いて説明します。
まず、１枚目のような普通の帰納法では
[1]n=1が成り立つ
[2]n=kを仮定
→与えられた式を変形
→仮定を用いてn=k+1のときも成り立つことを示す
という流れですよね。

一方、人生帰納法を使う問題では、なぜこの通常のやり方が通用しないのか(言い換えれば違いは何なのか)というと、【与えられた式を使うためには、n=kだけでは無理だから】です。
通常の問題と違って、条件式にa1からanまでが入ってしまっている以上、n=k番目だけ仮定しても示せなくなってしまいます。

証明の構造としては
1番目が成立→2番目が成立
2番目が成立→3番目が成立
...
というのが普通の帰納法です。
一方で
1番目が成立→2番目が成立
1番目と2番目が成立→3番目が成立
1番目と2番目と3番目が成立→4番目が成立
...
というのが人生帰納法です。
だから、ドミノで言うならば、普通は前の1本が倒れたら次も倒れるから、その前と自分の2本で完結するけど、人生帰納法はk+1番目のドミノを倒すにはk番目までの全ての重みがないと倒れない、というイメージですかね。

Answer 2

Naga

数学的帰納法はよくドミノ倒しに例えられます