数学Ⅲの問題の質問です。

数学

高校生

解決済み

3年弱前

数学Ⅲの問題の質問です。
添付した写真の問題についてですが、なぜ最初にk≦x≦k+1と置くのでしょうか？
個人的には、定積分と不等式は、ある閉区間の上で成り立つので、このような回答をしているのだと思うのですが、友達にうまく説明できず困ってしまいました。
他の人的には、なぜいきなりkという文字が出てくるの？というところから知りたいようです。

納得のいく説明があったらありがたいです。よろしくお願いします。

例題次の不等式を証明せよ。ただしくnは自然数とする。 15 12 1+ 1 1 +···…+->log(n+1) 3 n 証明自然数kに対して, 仮三xミk+1のとき 1 1 2 k x また,等号は常には成り立たな 1 い。よって x S- dx> k+1 1 dx x k k k k+1 dx 1 すなわち k 1 k 10 k x 0 k k+1 > -S-S,+S.4 e+1 dx 1 ゆえに 2 k=1 k n k=1Jk x * e+1 dx *2 dx 3 dx dx * n+1 dx 右辺は 2 1 x J3 X 「n x k=1Jk 1n+1 [ogla *n+1 dx lxl|| =log(n+1) 三 x 終したがって 1++ >g(n+1) 2 3 *「注意】例題 15 で示した不等式の両辺の極限を考えると, limlog(n+1)=o n→0 1 1 3 から 2 n 第7章積分法

数学ⅲ 定積分と不等式

回答

✨ ベストアンサー ✨

ゲストあ

3年弱前

この不等式は面積をくらべています。その際に左辺の一つ一つの項(1/k)は、幅1高さ1/kの長方形を表します。なので、幅1の長方形と、幅1の、関数の面積(定積分)を比べて、それぞれ和を取るため、幅1の範囲を最初に定めています。(幅1じゃないと左辺の形に合わないし、面積を比べるときも長方形のように単純な形ではなく凸凹になる。)

ゲストあ 3年弱前

補足です。kという文字はなんでもいいのですが、nだと問題文にすでに出てきているnとかぶるし、数学的帰納法の時にも整数を表す文字としてよく使われているkを選んだのだと思います。jでもiでも問題ないです

Noa-chan 3年弱前

なるほど。
ちなみに追加で質問です。
この時の範囲ってk-1≦x≦kという範囲であったとしても幅は1かと思います。ですが、問題文ではlog(n+1)と出てくるので、範囲にk+1を組み込んだ上で考えていると考えていいですか？

ゲストあ 3年弱前

そのような解釈もあると思いますが、実際にこの問題についている図と同じことを0≦x≦3くらいまで試しに書いてみてください。すると、0≦x≦1の範囲では長方形の方は作れますが、積分の方は関数がx→0で∞となるため積分できませんそのため、kは2以上となるのですが、そうするくらいなら問題のようにk≦x≦k+1とする方がスマートであるからだと思います。