数学
高校生
解決済み

この問題の(1)で、なぜD≧0 となるのでしょうか。D>0ではだめなのでしょうか?教えて欲しいです。

基本 例題50 2次方程式の解の存在範囲 83 OOOOの 2次方程式 x-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように,定数pの値 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに1より大きい。一 >ブジ正の安数 (2) 1つの解は3より大きく,他の解は3より小さい。 p.81 基本事項 2 指針>2次方程式x-2px+p+2=0の2つの解を α, βとする。 31 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0かつ B-1>0 (2) 1つの解は3より大きく, 他の解は3より小さい。→α-3とβ-3が異符号 2章 9 以上のように考えると,例題 49 と同じようにして解くことができる。なお, グラフを利用 する解法(b.81 の解説)もある。これについては, 解答副文の別解参照。 解答 2次方程式x°-2px+p+2=0 の2つの解を α, Bとし, 判別式 ||| 2次関数 をDとする。 f(x)=x°-2px++2の グラフを利用する。 D =(-か)°-(p+2)=Dがーカー2=(カ+1)(カー2) 4 (1)--(b+1)(カ-2)20, 解と係数の関係から (1) α>1, B>1であるための条件は D20 かつ(α-1)+(B-1)>0 かつ (α-1)(8-1)>0 α+B=2p, aB==D+2 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2<p<3 D20から (p+1)(カ-2)20 x=p y=f(x) よって pミ-1, 2<p (α-1)+(B-1)>0 すなわち α+B-2>0 から 2カー2>0 の 3- よって 0 1 B (α-1)(B-1)>0 すなわち αB-(α+B)+1>0 から p+2-2か+1>0 x よって かく3 (2) f(3)=11-5か<0から 求めるかの値の範囲は, ①, ②, 3の共通範囲をとって 11 -1 12 3 p D> 5 2Sp<3 (2) α<Bとすると, α<3<Bであるための条件は (α-3)(B-3)<0 aB-3(α+B)+9<0 4題意から, α=Bはありえ ない。 すなわち ゆえに p+2-3-2p+9<0 at3 カ>1 5 よって 2次方程式x°-2(α-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように, 定 の 50 値の範囲を定めよ。 練習 キ」 解と係数の関係、解の存在範囲

回答

✨ ベストアンサー ✨

D>0だと、解は2個
D=0だと、解は1個

問題文は2つの解が と書いてあるから、D>0でいいのではないかということですよね。
たしかに、その気持ちはわかります。
ただ、二次方程式なのに、答えが1つだけっておかしくないですか?
D=0のとき、解は1個と言っていますが、本当はそれは重解だから1個とみなしているだけで、解自体は2つ出ています。
なので、D≧0にする必要があります。

もちゃ

なるほど!つまり、この問題の解が4だったとして、もうひとつの解も4だった時、重解としてみなしているけど、実際はふたつ出てるからD=0も答えの範囲としてはいるんですね……
初めて知りました。
ちなみに、こういう時の見抜き方とかはあるのでしょうか?教えて欲しいです。

たける

そういうことです。
見抜き方はないです。
ですが、あなたはもうこの意味を理解したはずです。
だから、次解く時に、間違えないようにすればいいだけです。
どの教科でもそうですが、色んな問題に出会えば、それだけ解ける問題も増えます。おそらく高校で習うもののほとんどが、初見では解けないと思います。それでいいんです。答えをみて解き方が分かれば、あとは本番で解いて点数を取るだけです。自分は、分からない問題に出会うと、やった!って思うようにしてます。なぜかと言うと、それが解けるようになれば(解き方がわかれば)、本番で解ける→点数が上がるからです。
今のうちに、問題数をこなせば、ものすごい糧になります。頑張ってください。

もちゃ

しっかり考えてみて、異なる2つの解という、異なるという前提を置いていないから、2つの実数解はすべて対象なんだなと気が付きました!
2度も質問に答えていただきありがとうございます。私もあなたの考えを見習って、問題が解けなくても落ち込まず、しっかり身につけようと思います!☺️
頑張ります。本当にありがとうございました!

たける

素晴らしいです。
ごめんなさい。
いづれ、ふとした時に気付く日が来ると思ったので、あえて言いませんでした。
何回も問題を解くと、いつもは異なる2つのって書いてあるのに、今回は2つのだけ。自分はこれを読んだ時に、少し違和感を感じます。でも、そこに気づけたあなたはすごいです。自信持っていいです。
他の教科でも、選択肢の問題などはこのように言葉を少しいじって、変えてある場合があります。なので、そういうところにも注意しておくといいですね。

これからもっともっと難しい問題に出会います。おそらく解けなくて、嫌いになりかけることもあると思います。ただ、問題になっている以上、ちゃんと解き方はあるわけで、誰でも理解すれば解けます。この気持ちの持ちようだけでも、だいぶ勉強のハードルが下がると思います。
周りと差をつけるなら、周りが勉強していない今がチャンスです。チャンスを生かすも殺すもあなた次第です。

もちゃ

いえいえ、こちらこそしっかり確認して理解する前に質問をしてしまっていました💦
はちさんがいろいろと教えてくださったので、勉強への意識もだいぶ変わって、助かりました。本当にありがとうございます😊

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