マーカーの部分の関数は下に凸の放物線になると思い、写真の通りの図を書いたのですが解答の増減表と一致しないのは何故でしょうか、教えて頂けるとありがたいですm(*_ _)m
bの値を求めると,a=アイ], 6=ウエである。また, f(x) は x= オ]のとき, 極大値カをとる。
極値からの3次関数の決定と接線の本数
000
Cala
線 y= f(x) 上の点T(t, f(t)) におけるこの曲線の接線の方程式は
Sao ()
y=(キ」ピークケ]+コサ])x-
しある。よって,点A(1, 8) から曲線 y= f(x)に引いた接線の方程式は
シ +スパーセソ」
2
|タチ」x-ツテ
るある。さらに,点P(0, p)から曲線 y
y=
または
y=トナ]x+ニヌ」
=f(x) に異なる3本の接線が引けるとき, 定数がの値の範囲は
「ネノハ」くかくヒフ」である。
解答
(1) f(x) = x°+ ax + bx-16 より
f(x)は x=4で極小値0をとるから
f(4) = 0 より
f(4) = 0 より
これを解いて
f(x) = 3x° + 2ax +b
Key
f'(4) = 0, f(4) =0
の
x=«でf(x)が極値をとる
→f(a) = 0
逆が成り立つとは限らない。
48+ 8a+b= 0
48+ 16a+46=0
a= -9, 6= 24
本当にx=4で極小値をとる
かどうか確かめる。
逆に,a=-9, 6= 24 のとき
f(x) = x°-9x+ 24x-16
f(x) = 3x°-18.x+24
(= 3(x-2)(x-4)
増減表より,f(x) は確かに x=4 で極小値0をとる。
x
2
4
f(x)
5
0
0
f(x)
y=f(x)|
4
0
章
SEIU.D1C2 20020
T 4
よって
a= -9, 6 = 24
0nie)
Ong
また,f(x) はx=2 のとき, 極大値4をとる。
(2) y= f(x) 上の点 T(t, f(土)) におけるこの曲線の接線の方程式は
yー(-9°+24t-16) = (3t? - 18t+24) (x-t)
y= (3t°-18t+24)x-2°+9t°-16
0
2
4
yーf(t) = f'(t)(x-t)
すなわち
三
8= -2t° + 12t° - 18t+8
①にx=1, ッ=8を代入す
これが点 A(1, 8) を通るとき
t(t-3)° = 0 であるから
t=0 のとき,① に代入すると
t=3 のとき,①に代入すると
よって,求める接線の方程式は
y= 24x-16 または y= -3.x+11
る。
t= 0, 3
y= 24x-16
y=-3x +11
さらに,曲線 y= f(x) の接線①が点P(0, p)を通るとき
p= -2t° +9t-16
ここで,g(t) == -2t°+9f°-16 とおく。
点Pから曲線 y=S(x) に異なる3本の接線が引けるとき,tの方程
式 g(t) = b が異なる3つの実数解をもつ。
ゆえに,曲線 y= g(t) と直線 y=pが
異なる3点で交わればよい。
g'(t) = -6° +18t = -6t(t-3)
のにx=0, y=p を代入す
る。
S0
a一動小量 当0
Key 2
3次関数の場合, 接線の本数と
接点の個数は一致する。
y=g()
4y
11
y=DD
0
より,g(t)の増減表は次のようになる。
0
3
t
0
g (t)
|g(t)
よって,求めるかの値の範囲は
0
営16S 0 |-
8aiaト-Oni
(+000
-16
11
-16<p<11
微分と積分
+|へ
理解できました。丁寧にありがとうございます。