Question

M

⑶の❔の部分がわからないです😭
どうしてその式になるのか解説していただきたいです、、

あと⑵なんですけどJのx座標がk通りでLのy座標がn-k通りなのはわかるのですが、どうしてかけたら個数がわかるのか、なんとなくわかるけどちゃんとはわからないってかんじなのですが教えてほしいです。

質問多くてごめんなさいどちらかだけでも全然大丈夫ですお願いします、！

平面においてa, yがともに整数となる点 (z, y) を格子点という.正の整数nに対して
CY
3
で定まる領域をDとする.4つの頂点がすべて Dに含まれる格子点であり, a軸と平行な辺をもつ長方
形の数を R(n) とする. また, そのなかで特に1つの辺がa軸上にある長方形の数を S(n) とする. 以
下の間に答えよ.
(1) R(3) と R(4) を求めよ。
(2) S(n)を求めよ。
(3) R(n) を求めよ。
(4) R(n) = 1001 となる nを求めよ。
20, y20, e+yハn
i」?a+?なので,f(-1) 20より,

4/%3DOB/ = |0C|3D |OD| なので,
となるので、四面体 ABCD が正四面体であることが示
のA. OC = OB.OD, OA - OD =D O.OC
1ー/CD?%= OB - OA|P - |OD - Odp
-219-
名古屋大
S(n) =
OA.OB =
OC.OD
E k(n-k)
k=1
n-1
n-1
=n Ek- ?
k=1
ニ
あり。
k=1
= ((OAP- 20A· OB + |OE|P)
(n- 1)n-(n-1)n(2n- 1)
= (n-1)n(n+ 1)
S(1) = 0より,これはn=1のときも成立するので、
n21に対し、
=n
- (OCP - 20C.OD
+|ODP)
- 2(OC OD- OA. OB) = 0
よって、 |AB/
同様に③より。
= |CD|である。
S(n) = (n - 1)n(n+1)
三
(3) R(1) = 0 なので, n22とする。
D内の条件をみたす長方形 JKLM は、
(i) J. Kのy座標が0であるもの
(ii) J. Kのy座標が1以上であるもの
に分類され,(i)と(ii) には重複がない。
(i) に分類される長方形の個数は (2) より S(n) (個)
ある。
一方。
ニ
であり、
|AC| = BD)
|AD| = |BC|
された。
B](場合の数,漸化式)《難〉思考力
8(A」
(1) n= 3, n=4のときの領域 Dは それ
れ下の左図, 右図のようになる。
20, y21, #+y<n
49 D
で定まる領域をD'とすると. y軸方向に -1の平行移
動を考えることにより,4つの頂点がすべて D'に含ま
れる格子点であり, z軸と平行な辺をもつ長方形の個
数は,n-1に対応する D内の条件をみたす長方形の
個数 R(n - 1) に等しい。
よって、(ii) に分類される長方形の個数は R(n-1) (個)
である。
したがって、R(1) =0 に注意すると、
3T
D
31
エ+y=4
、エ+y=3
3
O
各図でDに含まれる条件をみたす長方形の個数を数え
ることにより,
R(n) = R(n -1) + S(n) =D R(1) + M S(k)
R(3) = 5, R(4) = 15
k=2
(2) S(1) = 0 であり, n>2とする。
Dに含まれる条件をみたす長方形の4頂点のうち, z座
標,9座標が最小なものをJとおき, Jから反時計回り
にたどり K, L, Mとおく.
=こ(k- 1)k(k +1)
k=2
E{(k - 1)k(k+1)(k+2)
ニ
k=2
49
49
n
D
n
D
1
=(n-1)n(n+1)(n+2)
24
R(1) = 0より,これはn=1のときも成立するので、
n21に対し、
R(n) = (n - 1)n(n+1)(n+2)
(4) R(n) は自然数nに関し単調増加である。
R(n) = 1001 なので、
(n-1)n(n+1)(n+2) = 24·1001
M
L
n-k。
n-k(個)
K
K
J
0
n
0
k(個)k-1
n
S(n)を求めるにあたり, J, Kのy座標は0である。
Kのz座標をんとおくと,1くkハn-1である.
Jのェ座標は, 0, 1, . … , k-1のk(通り)とること
ができる。
= 23.3.7.11· 13
= 11.12.13·14
したがって, n = 12 である.
一方,直線z+y=n上の点のェ座標がんであるとき
のy座標はn-んなので, Lのy座標は, 1, 2, …,
n-kのnーk (通り)とることができる。
Jのの座標とLのッ座標は独立にとることができ, どの
ようなとり方でもMはD内にあるので, Kのェ座標が
んであるとき,条件をみたす長方形JKLM は k(n-k)
(個)存在する。
したがって、
今年度も,理系との共通問題が出題されなかった.それ
でも、難易度は昨年度並みで高いレベルで安定している。
2は、前問の結果をうまく用いることが重要であり、 13は, S(n)
と R(n)の関係を見出すことがポイントであった. 出題分野は比
較的安定し、問題数に対して試験時間が多いので、 過去問演習を
通して、きちんとした答案作成の練習を行いたい。
旺文社 2021 全国大学入試問題正解