Question

yinyue

水色の()教えてください。2の倍数でも3の倍数でも無いのは分かるんですけど、何で6で割るんですか？

例題2
平方数の剰余
aを3より大きい素数とする。a?を24で割った余りはいくつになるか。
〈群馬県〉
解答 1
52= 24 +1,72=24·2+1, 112=24·5+1から, 求める余りは1と推
測できる。
aは3より大きい素数なので, 2の倍数でも3の倍数でもない。 よってaを6
で割った余りは1か5である。そこでんを整数としてa=6k±1とおくことが
できる。すると,
a2= (6k±1)2=36k?±12k+1=12k(3k±1 ) +1
となる。ここでんと 3k±1の偶奇は異なるので, 一方は必ず偶数である。よっ
て12k(3k土1)は24の倍数なので, α?を24で割った余りは1である。
解説
ち小

平方数の剰余 数と式 教員採用試験問題 数学

Answer 1

Crystal Clear

6＝2*3
で2と3は互いに素であるから
(2で割った余り,3で割った余り)の組
と
6で割った余り
は1対1対応します.

今回は
(2で割った余り=1,3で割った余り=±1)
であるから対応する6で割った余りも2通りで
6で割った余り=±1
となります.

一般に、N=mnでnとmが互いに素であるとき
(mで割った余り,nで割った余り)の組
と
Nで割った余り
は1対1対応します.(中国剰余定理)
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今回の問題では以下のような解法がより自然に感じます.
aを24/2=12で割った余りを考えればいい. aを12で割った余りをrとすると
a=12m+r
a^2=(12m+r)^2=(24の倍数)+r^2
aは素数なのでr=0,±1,±2,±3,±4,±5,6 のうちであり得るものとして、
r=±1,±5
r^2=1,25
これらを24で割った余りは1だから
a^2を24で割った余りは1である.

yinyue

丁寧な説明ありがとうございます😊