Question

はな

2項定理で、係数を求める時に、なぜ、Pではなく、
Cなのでしょうか？

2項定理 係数 数学ⅱ

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あああ

そもそもPとCの差異は？という話ですが、

Pは「順列」を求める時に使われる数学記号であり、その順列には文字どうり、「組み合わせ、および並び順」が考慮されます。

対してCは「組み合わせ」を求める時に使われる数学記号であり、「並び順」は考慮されません。

二項定理において、例えば

(1+3)⁴
=(1+3)(1+3)(1+3)(1+3)

の場合、この式を展開するにおいて

1番左のカッコでは、3を選ぶ。
次のカッコでは、1を選び、
次も1を選び、
最後に3を選ぶ、

というある通りがあると思います。

ここまでが順列の話です。

しかし、
3×1×1×3
の値は、ほかにも
3×3×1×1
だって同値です。

ここで、組み合わせの出番です。

そのような組み合わせの通りは、
同じ数の3が2個
同じ数の1が2個
あるので、まさしく、

₄C₂通りです。すなわちこれが

展開したときに
3²1²
となる項の係数になる訳なのです。

(展開したときに
…+₄C₂3²1²+…
のような項が現れるのです。)

以上が二項定理において組み合わせを表す
Cが用いられる理由です。

はな

とても丁寧に教えてくださり、ありがとうございます。

Answer 2

しゃち

Pは順序関係あり　Cは順序関係なし

(a+b)(a+b)(a+b) からab^2の係数を求めるとき、
1つ目のa×2つ目のb×3つ目のbと
1つ目のa×3つ目のb×2つ目のbは同じものなのでカウントしません。

はな

回答してくださり、ありがとうございます。

質問です。（a＋b）の4乗のとき、a3bとなるのは、
aaab,aaba,abaa,baaaの順序の違うものが、4つあるから、
Pでは、ないのでしょうか？

しゃち

説明がし辛いのですが、それだと
a(b+c) = ab+ac+ba+ca
のように計算してることになります。

はな

丁寧に教えてくださり、ありがとうございます。
おかげで、理解することができました。