Question

使用していません。

【積分法】
円錐の体積が底面積×高さ÷3で
表されることを積分を用いて表せ。

という問題が分かりません。教えてください！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

底面積S、高さtの円錐を考えます。
円錐を底面に平行な面(高さt)で切断したときの断面積をS(t)とする。
円錐の体積＝∫[0→h]S(t)dt
という式が成り立つ。

また、高さtでの断面と底面は相似で、
高さの比がt：h　であることから、
面積比はt²：h²
よって、S(t)＝(t²/h²)S
という式ができますので、これを円錐の体積の式に代入して、
∫[0→h](t²/h²)Sdt
＝1/h²×S×[(1/3)t³][0→h]
＝(1/h²)×S×(1/3)×h³
＝(1/3)×S×h

よって、円錐の体積は、1/3×底面積×高さで表されることが証明された。

使用していません。

回答ありがとうございます！

高さtでの断面と底面は相似で、
高さの比がt：h　であることから、(←ここまで理解)
面積比はt²：h²
よって、S(t)＝(t²/h²)S

の理解が追いつきません…
もう少し細かく説明してくださいませんか？

きらうる

言葉足らずでした。申し訳ないです。

tは、頂点からの高さのことです(赤色)。
hは、頂点から底面までの高さのことです(紫色)。

この高さと底面が作る図形は相似になります。
相似である場合、面積比は相似比の2乗倍であることはご存じでしょうか。
例えば断面(赤色の円)の半径が2cm、底面(紫色の面)の半径が3cmのとき、高さの比は2：3になりますよね。
さらに、面積も赤色＝2²×π＝4π、紫色＝3²×π＝9πとなり、面積比＝4：9になります。
このように、面積比は高さの２乗倍になりますので、t²：h²としています。

それから、断面(赤色)の面積：底面(紫色)の面積＝S(t)：S　の比はt²：h²になるので、
S(t)：S＝t²：h²
→　h²×S(t)＝t²×S
→　S(t)＝t²÷h²×S
→　S(t)＝(t²/h²)S

となりますが、いかがでしょうか。

使用していません。

なるほど！！！
ありがとうございます！解決しました🙇‍♂️