Question

みお

2変数の停留点について教えていただけないでしょうか‪( ;ᯅ; )‬‪( ;ᯅ; )‬‪( ;ᯅ; )‬

1. 7(r.のニダアー2zgキのエッとする。
(1) の停留点をすべて求めなさい。

(2②) のすべての停留点を分類しなさい

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

寒

これも高校とそんなに変わらないです。

極値をとる必要条件がf'(x)=0だったのと同様に、2変数関数が極値をとる必要条件も、
f(x,y)のx,yでの偏微分fx,fyについて
fx(x,y)=0, fy(x,y)=0
です。これらを満たす点(x,y)を停留点といいます。

(1)f(x,y)=x³+2xy+y²+y
fx(x,y)=3x²+2y
fy(x,y)=2x+2y+1
より、連立方程式
{3x²+2y=0 ⋯①
{2x+2y+1=0 ⋯②
の解が停留点。
②を①に代入すると、
3x²-2x-1=0
(3x+1)(x-1)=0
x=-1/3, 1
よって停留点は(1, -3/2),(-1/3, -1/6).

(2)これはまあ高校とは少し違うところ。
極値判定法には2次偏導関数を使う。
H = fxx∙fyy - (fxy)² とおくと
H>0かつfxx>0のとき、極小点。
H>0かつfxx>0のとき、極大点。
H<0のとき、極大でも極小でもない。(この点のz=f(x,y)のグラフの形が馬の鞍に似てたりするので鞍点って呼ばれたりもします。)
H=0のとき、極値をとるかはわからない。

fxx(x,y)=6x, fyy(x,y)=2, fxy(x,y)=2
・点(1, -3/2)
H=(6∙1)∙2-2²=8>0, fxx(1,-3/2)=6∙1>0
→極大点
・点(-1/3, -1/6)
H=6(-1/3)∙2-2²=-8<0
→鞍点

寒

ミスりました。

・極大点の条件
H>0かつfxx<0のとき、極大点。
・停留点(1,-3/2)
fxx>0より、極小点。

みお

こんな雰囲気なんですけど、、どこで間違えたんですかね、、
😭

寒

H(x,y)での極値判定のところですね。

まず、
H(x,y)の正負で極値をとるかどうか判定。
次に、
∂²f/∂x²の正負で極大or極小の判定。
↑
極値をとるかとらないかと、
極大・極小の判定が別で、
2段階の判定になってるちょっとやっかいですよね…。

寒

[極値判定法]
H(x,y)>0 → 極値をとる。
┣∂²f/∂x²>0 → 極小
┗∂²f/∂x²<0 → 極大
H(x,y)<0 → 極値をとらない。
H(x,y)=0 → 判定不能。

∂²f/∂x²での判定も必要。
↓∂²f/∂x²を使った判定のイメージ図↓

Answer 2

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