✨ 最佳解答 ✨
いきなり(3)は解けませんので, (1)から順に復習していきましょう.
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(1)z+(4/z)
=(x+yi)+{4/(x+yi)}=(x+yi)+{4(x-yi)/(x+yi)(x-yi)}
={x(x^2+y^2+4)/(x^2+y^2)}+i{y(x^2+y^2-4)/(x^2+y^2)}
なので実部はx(x^2+y^2+4)/(x^2+y^2), 虚部は{y(x^2+y^2-4)/(x^2+y^2)
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(2)x>0ならば相加・相乗平均の関係からx+(4/x)≧2√{x*(4/x)}=4.
x<0ならば相加・相乗平均の関係から(-x)+(4/(-x))≧2√(-x)*(4/(-x))=4⇔x+(4/x)≦-4
以上からx+(4/x)≦-4, 4≦x+(4/x)
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(3)z+(4/z)が実数ならば虚部は0なので,
y(x^2+y^2-4)/(x^2+y^2)=0⇔y=0かつx^2+y^2≠0 あるいは x^2+y^2=4
y=0かつx^2+y^2≠0のとき2≦z+(4/z)=x+(4/x)≦5[x>0であることは(2)から分かる]で, これを解くと1≦x≦4.
x^2+y^2=4のとき, 2≦z+(4/z)=2x≦5⇔1≦x≦2 [円周x^2+y^2=4の一部であることに注意. したがってxは2以下]
以上をまとめると
1≦x≦4, y=0 [x軸で1以上4以下の部分]とx^2+y^2=4, 1≦x≦2[原点中心半径2の円周でx座標が1以上の部分]
を図示すればよい.
それから、数学が苦手で、数3は学校の定期テストでフォーステップをやっただけでフォーカスゴールドは手をつけていません。
でも太くてやり切れそうにないので、基礎問題集とマセマの初めから始める数3を買おうかとと思ったのですが、今から買うのはやめたほうがいいでしょうか。
少しでもやってあるフォーステップに取り組んだほうがいいのでしょうか。
本当に今更な質問でお恥ずかしいですが、お願いします🙇♀️
まず最初の質問ですが, z+4/zなので分母のz≠0⇔x^2+y^2≠0⇔x≠0, y≠0の条件を(i)に含めたわけです.
[x軸全体から原点を除いたもの->不等式2≦z+4/z≦5でさらに範囲を絞っていくという考え方.]
(ii)の場合はx^2+y^2=4≠0なのでx^2+y^2=0をわざわざ考える必要はありません.
問題を解く前に, 与えられた式が成り立つ条件[ある種の暗黙の了解]を確認する癖はつけたいです.
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別解は略解です. 質問の部分を補いましょう.
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[別解1] z=re^iθ[e^iθは単位円を表します]=r(cosθ+isinθ)と書けることは知っていると思います.
[オイラーの関係式e^iθ=cosθ+isinθは発展事項で習っていませんか?] これを利用します.
|z|=2ならばz=2e^iθ=2(cosθ+isinθ), 4/z=2e^(-iθ)=2(cos(-θ)+isin(-θ))=2(cosθ-isinθ)
したがってz=4cosθとなります.
反転(1/z)を含む場合はz=re^(-iθ)の形を使えば, このように分かりやすく計算できます.
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オイラーの関係式を知らないときは, 下のように計算すればいいです.
|z|=2ならばz=2(cosθ+isinθ)と置けます. de Moivre[ド・モアブル]の定理から
4/z=4z^(-1)[(-1)乗と見る]=2(cos(-θ)+isin(-θ))=2(cosθ-isinθ)となります.
あとは同じです.
de Moivreの定理はすべての整数n, すなわち負の整数でも成り立つことは盲点になっているかもしれません.
[別解2]も同様にz=r(cosθ+isinθ)を利用して計算すればいいです. 上と同じです[いい復習になります].
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フォーカスゴールドは鈍器のような厚さですから, 数学が苦手な人には見た目だけで嫌気がさすかもしれません.
4Stepは教科書の内容を定着させること, 計算力をupさせることが主な目的です. 最後の方は入試問題の古典的良問が少し入っています.
フォーカスゴールドは教科書や4Stepを解いていて困ったときに解法の考え方を調べる辞典の役割[苦手な人はこういう使い方をしてほしいです],
そして後半の例題や問題は4Stepまでで培った力を応用する入試対策といった趣きになっています.
そういった理由でそれぞれの役割が違います
[私はFGをやったことがないのでズレた部分があるかもしれません. 基本的には充実したチャート式のようなものと思っていますが].
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とりあえず一通りやりたいのなら
①4Stepの*の問題を全部やる. FGの例題と対応する演習題で解法を身につけていく[今あるものをうまく絞って活用することも大事です].
②4Stepの問題を全部やる[数IIIは計算力向上のために量が必要です]. その後気に入った薄物問題集をやりつくす.
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問題集・参考書の選び方ですが, 自分が解けそうな問題からはじまって, 少し無理そうと思える問題までカバーしているものを選ぶといいです.
やさしすぎる問題では力はつかないですし, あまりにも難しい問題だらけだと消化不良になるからです.
あとは解説の質ですね. 小ざっぱりとポイントのみがよければ問題精講シリーズがいいでしょうし, 講義風がよければ今流行りのものになるでしょう.
これは本屋に足を運び, 自分で比べてビビッときたものを選ぶのが一番です. やはり好みはそれぞれですからね.
質問を見る限り, ゆふゆふさんは悲観するほど数学が出来ないわけではないと思います. もう少し楽観的になった方がいいですよ.
[訂正] 計算を追ってくれば分かると思いますが
したがってz+(4/z)=4cosθとなります.
が正しいです.
とても丁寧に答えてくださりありがとうございます！
また解いてみたいのでその時はよろしくお願いします。
なるほど、自分の目的に合わせて、問題集の中でもやる問題を選択していくべきということですね。やってみます。
ありがとうございました
[追加研究] 複素平面の問題なので他にもやり方があります. どれも大切な解法です.
[別解1]
z+(4/z)が実数なのでz+(4/z)={z+(4/z)}^* [共役を*で表します]
⇔(z-z^*)+4(z^*-z)/|z|^2=0⇔(z-z*)(1-4/|z|^2)=0⇔z=z^*[x軸]もしくは|z|=2[原点中心半径2の円周]
あとは範囲を絞ればいいです. z=z^*ならば2≦x+(2/x)≦5, |z|=2ならば2≦4cosθ[極形式を使う]≦5.
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[別解2]
z=re^iθ, r>0, 0≦θ<2πと置くとz+(4/z)=(r+4/r)cosθ+i(r-4/r)sinθ
z+(4/z)が実数ならばr=2もしくはθ=0, πであることが必要.
r=2のとき, 2≦4cosθ≦5, θ=0[x軸正の向き, r=x]のとき, 2≦x+(2/x)≦5, θ=πのとき, -(r+4/4)<0なので不適[x軸負の向き].
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この問題のように必ず誘導がつくわけではないので, 自分で最後の問題をいきなり解けるように鍛えましょう.