Question

やみー

3番について、
体積を求めるなら、π∫《Y1(x)-Y2(x)》²dxとなると思ったのですがなぜ回答のようになるのでしょうか？

P.S.
書いた後に気づいたんですけど、余分な分を取り除く作業をしないように計算しているという事ですかね

● 5 回転体の体積 媒介変数型
曲線 C は媒介変数を用いて=t-sint, y=1-cost (0≦t≦2) と表されるとする.また,
曲線 C2 はx=t-sint, y=1+cost (0≦2m) と表されるとする。
(1) CC2は直線y=1に関して対称であることを示せ.
(2) CC2 の交点の座標を求めよ.
(3)とC2で囲まれた部分を軸のまわりに1回転してできる回転体の体積を求めよ。
(宇都宮大工)
(x(t), y(t))
曲線が媒介変数表示されている場合の回転体の体積
考え方は面積と同じ
t=ti
=
で、右図の場合,Server-Sony (1) (1) dt(実際の計算は変数を
t=to
to
dt
にしておこなう)となる.
解答量
れらはx座標が等しくy座標の平均が
(1) C. 上の (t-sint, 1-cost) と C2 上の (t-sint, 1+ cost) について,こ
(1-cost)+(1+cost)
-= 1 だから直線
P19 (t-sint, 1-cost)
2
y=1 に関して対称. よって C1 と C2 は y=1 に関して対称.
dx
dt
-y=1
(2) x=t-sintのとき =1-cost≧0だから, tが増加するとも増加する。
P2(t-sint,1+cost)
これと(1) より と C2 の交点は y=1上にあり,このとき cost=0 すなわち
←
P1, P2 (x 座標が
が増加すると
π
3
t=
11/28 202である。交点は (1-1.1)(+1.1)
3
2
(3) Cy=y(x), C2 をy=y2(x) とする.
π
3
<< 21/2xの範囲で1cost<0だから
y1(x)>y2(x)となる.また,(1)を用いると
1(x)-2(x)=(y₁ (x) + y 2 (x)} {y₁(x)-2(x)}
=2{y1(x)-y2(x)}
となるから、求める体積は
3
+1
37 +1
YA
P₁(t) C₁
1
0π
-1
2
X
同じ) は右に動く.y=1に関す
る対称性も考えると, P1=P2 な
らば,その点のy座標は1.
C2Cはサイクロイドである。サイ
クロイドの概形は既知として,例
えば (2) は 「サイクロイドの概形
とy=1に関する対称性から, 交
点はy=1上にある」 としてもか
まわないだろう.
2π
3匹+1
π
P2(t) 2
√***³¹ñ{y₁(x)² — y²(x)²} dx=2xzz(y₁(x)=2(x)} dx
=2π
2
3-21-2
3
{(1-cost) (1+cost)}
3
-dt=2x2(-2cost) (1-cost)dt
1
2
dx
dt
2
sin 2t 2
π
af*(-2cost+(1+cos2t))dt=2x|-2sint+t+
=2π
2
=2(+4)
(解答は p.152)
3-2 2
π
交点に対応するtの値は,
t=-
π 3
π
2' 2"
2cos2t=1+cos2t

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

かき

立体をx軸に垂直な面でスライスしたドーナツ型の円盤を積分します。
ドーナツ型になるのはわかりますか？
このドーナツ型の円盤の面積が、π y₁(x)² - π y₂(x)² なので、これを積分して体積を求めます。

かき

れを積分して体積を求めます。

やみー

ありがとうございます
分かりました😊

かき

よかったです