Question

🐱 ※プロフィール見て欲しいです🙇‍♀️

この問題のセソについてなんですけど、正射影ベクトルからきてるということはわかるのですが、何故（1）の結果から、正射影ベクトルが1ということが分かるのでしょうか？

（3ページしか載せられないので所々省いて載せてます🙇‍♀️必要に応じてのせます！）

解説お願いします！

第6問(選択問題)(配点 16)
正射影されたベクトルについて考える。
(1) d = 0, 0 とする。
10.000.0B
0.0
右の図において, を 万のへの正射影ベクトル
という。
A
すなわち、万の始点 終点をそれぞれA,Bとし,A,
B から に平行な直線に垂線 AA', BB' を引くとき,
B' a
A'
b'
AB' が、万のへの正射影ベクトルである。
とのなす角日が0° <0 <90° を満たすときとは向きが同じである
から,'=ka (kは正の実数)と表される。
そこで,kを次の方針1または方針2によって求めてみよう。
S.
方針 1
E.T
大きさはの大きさと0を用いて ア
と表される。
。
2.1
一方, が と万のなす角であるから, イが成り立つ。これらのこと
からんを求める。
・方針 2
条件より, ウ と が垂直であるから, ウ この内積は0である。
このことからkを求める
AS
(数学II, 数学B, 数学C第6問は次ページに続く。)
S.S
(第2回 17 )
0.5

(3) OA=2,OB = 3, OA OB=3である△OAB の外接円の中心をKとするとき
OK OA, OB を用いて表そう。
辺OAの中点をM, 辺 OBの中点をNとすると, Kは△OAB の外接円の中心
であるから, OM ⊥KM, ON ⊥KN より
セ
OM · OK = 1, ONOK
ソ
であることがわかる。
したがって, OK = sOA +tOB (s, tは実数) とおき, OM・OK = 1 を計算す
ると
タ
チ
Is +
=1
ツ
V+
となる。
セ
同様にして, ONOK =
であることから,s, tの方程式をつくり,それ
ソ
らを解くことによって
テ
OK
OA+
-OB
ト
であるとわかる。
015

|第6問 ベクトル
(1) 方針1
万を右図のように平行移動して考えると
AB = A'C
A'B'A'Ccos であるから
||=|6|cose (①)... ①A
したがって
OH = 16a+ 1/6
(3) OM はOK のOAへの正射影ペクトル
であるから
LOMOKOM
[A]
<D
M
またはのなす角であるから
右図の直角三角形において
よって OM-OK1 ...... ③
K
10
A
B
a-b
B
cos 0=
ab
()......②.B
方針2
BC=6-6, BC A'B' であるから、万一 (③)とは垂直である。
方針1よりを求める。
[B]
accos
besin0
ベクトルの内積
①でない2つのベクトル
同様に
ON OK-ON
B
D
本どこから?
=1より
D
OKのOM への正射影ベクトルは
OM であるから,(1)の結果から
OMOK
OMP
よってONOK=2
OM OK OM²
の
[OKOLOR をおくと
ON→OBの中点2/2
がいえる。もちろん、 内積の定義
から
① ② より
なす角を0(00180°) とす
ると
OM-OK=|OM||OK | cos/KOM
a-b
a.b
OA GOA+10B)
-6-acos
ab
ここで,F=ka, k>0より, 6=ka であるから
kalab
これより
cos- a6
OA+OA OB-1E
|=|OM||OM|
=OM
と考えることもできる。
E
2+1=1 1 ...... ⑤
①より
a-b
よってk=
(②)
la
|OA| =OA=2
|OB|OB=3
OA・OB=3
【方針2よりを求める別解】
(6-6)=0C
V =ka であるから
(6-ka) a=0
a-b-ka=0
k=
(②)
lap
(2)|a|=2.|6|=3, d 6 = 2 より (1) の結果を用いて
OD =>
1万円
a-b
OE=
AH HD = (1-u) とおくと
OH= (1-)OA+OD = (1-u)a+ub
EHHB=: (1) とおくと
OH = (1-0)OE+DOB=17+06
a = 0, 6 =1で,ことは平行でないから
1-1= -170
2
-
これを解いて
16=
→→
OA:OB=2
D
3
E
H
・B
[C]
①でない2つのベクトル, 万に
ついて
a ± ba·5-0
ATTENTION!
方針 1. 方針2のどちらの方法を
使ってもkが求められるが、この
2つの方法の両方を理解して使え
るようにしておくと、 他の問題を
解くときにも応用が利くように
なる。
OB-(OA+1OB)=
OA OB+
B+OBE
+-----
よって OK=1/20A+10B
Point
(1) 正射影ベクトルという未習の事項に関して, ベクトルの内積を利
使用して正射影ベクトルを他のベクトルで表すことが問われている。
方針は が石と cos で表されることを利用する。
方針2は, と垂直なペクトルを利用する。
このように全く異なる方法でkを求めることができる。
(2) 点Hの位置ベクトルを求める問題である。 (1)で求めた正射影ペク
トルの考え方が利用できる。 Hは直線ADとBEの交点であるから,
AH HD (1-u), EHHB=v (1-v) とおき, u, Dの連立
方程式をつくって解く。 OH = x +y などとおいて, (1) の方針2
のように垂直条件を用いて解いてもよい。
(3) (1) の結果を利用することで, 内積の計算が簡略化できる。 設問の
誘導に沿ってsとの連立方程式をつくって解く。
(第2回-14)
(第2回15)

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

「正射影ベクトルが1」という表現は不適当です
ベクトルは、数の1とは別の概念です

(1)の結果は以下です
bのaへの正射影ベクトルは
( (a・b) / |a|² ) a
である

(3)
OKのOMへの正射影ベクトルは↑と同様に
( (OK・OM) / |OM|² ) OM……☆

一方、(1)冒頭のように図形的に捉えると
OKのOMへの正射影ベクトルはOM…… あ♪　そのもの
（(1)のA,B,A',B'がそれぞれO,K,O,Mに対応）

☆と♪は同じOMなので
(OK・OM) / |OM|² = 1
です

🐱 ※プロフィール見て欲しいです🙇‍♀️

助かりました！！理解しました。ありがとうございます！