Question

船長

ゆえにからの2行、なぜこうなるか分かりません
教えて欲しいです

278
重要 例題 163 定積分で表された関数の最大・最小 (3)
00000
実数が1ste の範囲を動くとき, S(t)=Sole-tax の最大値と最小値を
めよ。
② 1
絶対値 場合に分ける
指針
場合分けの境目は ex-t = 0 の解で x=logt
ここで, 条件1≦t≦e より 0≦log t≦1 であるから, 10gtは積
区間 0≦x≦1の内部にある。 よって、積分区間 0≦x≦1 を
0≦x≦logt と logt≦x≦1 に分割して定積分 Solex-t/dx
を計算する。
YA
e-t
t-1
●基本 147, 161
y=lex-t\/
logt
②
③
ex-t=0 とすると
x=logt
解答 1≦te であるから
mi2x7x12
0≤logt≤1
ゆえに 0≦x≦logtのとき
■logt は単調増加。
lex-tl=-(ex-t
log≦x≦1のとき lex-tl=ex-t
logt
よって
S(t)=S-(ex-t)}dx+S(
(ex-t)dx=
=-[ex-tx]+[ex-tx]
Jlogt
0
=-2(elogt-
logt-tlogt) +1+e-t
Jlogt
=-2t+2tlogt+1+e-t
=2tlogt-3t+e+1
ゆえに S'(t) = 210gt+2t•• -3=2logt-1
t
-A (A≤0)
A (A≥0)
積分変数はxであるか
ら, tは定数として扱う。
[F(x)]+[F(x)
=-2F(c)+F(a)+F(b)
elogt=t
微分法を利用して最大
値・最小値を求める。
S(t)
[↑]
S'(t) = 0 とすると logt=
e-2
最大
1F
最小
e
e
0
1 √e
et
e-2√e+1
よって
t=e=√e
1≦t≦e における S(t)
t
1
...
√e
の増減表は右のように
S'(t)
-
0
+
なる。
>
1
ここで
e-2<1,
S(t) e-2 極小
S√e)=2√e log√e−3√e+e+1
=e-2√e +1
したがって, S(t) は
t=eのとき最大値 1,
le = 2.718...
log√e=
t=√e のとき最小値 e-2√e +1
をとる。
(

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

0≦x≦logtのとき
logeˣ≦logtよりeˣ≦tだからeˣ-t≦0です
よって|eˣ-t| = -(eˣ-t)

またlogt≦xのとき
logt≦logeˣよりt≦eˣだからeˣ-t≧0です
よって|eˣ-t| = eˣ-t

船長

ありがとうございます！