Question

波瑠

微分の問題です。(1)は解けて(2)の波線より上はなんとなく理解できたのですが、波線以降でなぜ原点に平行移動させるのかが分からないので教えてください。

(1) 関数 f(x)=x+6x2+9x+7 について, y=f(x) のグラフをかけ。
(2)(1) のグラフについて,その形からこの曲線は曲線上のある点Pに関して
対称であると考えられる。グラフの形から点Pの座標を予想せよ。また,
予想した点に関して, y=f(x) のグラフが対称であることを確かめよ。

437m (1) f'(x) = 3x2+12x+9=3(x+1)(x+3)
f'(x) = 0 とすると
x=-1, -3
f(x) の増減表は次のようになる。
x
-3
-1
...
f'(x)
+
0
0
+
極大
極小
7
3
f(x)
したがって, 関数
y=f(x) のグラフは,
右の図のようになる。
(2)yの値が極大となる
グラフ上の点をA, 極
小となるグラフ上の点
をBとする。
3
このとき, グラフの形
から,Pに関してAと
対称な点はBと考えら
れる。
-3 -1
O
x
すなわち, Pは線分
ABの中点と考えられ
る。
A(-3, 7), B(-1, 3)
であるから, 線分AB
B
の中点の座標は
O
x
(-2, 5)
ここで,f(-2) =5であるから, 点 (-2,5) は,
関数 y=f(x) のグラフ上の点である。
したがって, 点Pの座標は (-2, 5) と予想され
る。
P(-2, 5) が原点に移動するように, 関数
y=f(x) のグラフを平行移動する。
すなわち, 関数y=f(x) のグラフをx軸方向に
2,y軸方向に-5だけ平行移動すると, 移動後
の方程式は
y+5=(x-2)3+6(x-2)2+9(x-2)+7
y=x3-3x
すなわち
g(x)=x3-3x とすると
g(-x)=-(x3-3x)=-g(x)
したがって, 関数y=g(x) のグラフは原点に関
して対称である。
よって, もとの関数y=f(x) のグラフは点Pに
関して対称である。

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

原点対称であることを示すのは、
比較的簡単だからです

波瑠

図を書いて説明して下さりありがとうございます。理解出来ました。