Question

たき

数学3についてです
解説を見てもよくわかりません
この問題を見てどう考えたらこの解説のような解法を思いつくのでしょうか
わかる方おねがいします

基本 例題 90 平均値の定理を利用した不等式の証明
平均値の定理を用いて,次のことを証明せよ。
e²
1/2 <a<b<1のときa-b<blogb-aloga<b-a
・基本 89 重要 91
平均値の定理の式は
指針
f(b)-f(a)
b-a
-=f'(c) (a<c<b)
①
一方, 証明すべき不等式の各辺を6-α (>0) で割ると
blogb-aloga
-1-
<1
b-a
① ② を比較すると, f(x)=xlogx (a≦x≦b)において, -1<f(c) <1 を示せばよい
ことがわかる。このように,差f(b)-f(a)を含む不等式の証明には,平均値の
定理を活用するとよい。
★
CHART 差f (b)-f(α) を含む不等式 平均値の定理も有効
関数f(x)=xlog x は, x>0で微分可能で
x>0で微分可能である
解答
f'(x) =logx+1
から,x>0で連続。
よって, 区間[α, b] において,平均値の定理を用いると
blogb-aloga
b-a
指針
★の方針。
=logc+1, a<c<b
を満たすc が存在する。
・<a<b<1とa<c <bから
1/1/2 <<1
e2
各辺の自然対数をとって log <logc<log 1
e2
1
すなわち
−2<logc<0
log
この不等式の各辺に1を加えて
f(b)-f(a) を含む不
等式については,平均値
の定理を意識しよう。
なお, 2変数の不等式の
扱いについて, p.200 で
まとめている。
11/2=loge^2=-2.
log1=0
−1<logc+1<1
blogb-alog@<1
よって
-1<
b-a
この不等式の各辺に bα (0) を掛けて
a-b<blogb-aloga<b-a
<a<bであるから
ba>0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

和

慣れですかね
いかにも平均値の定理っぽい形だから、まず疑います
その結果、違うようならまた別の解法を考えます

f(b)-f(a)とかb-aが出てきている（今回はf(x)=xlogx)と、
平均値の定理は怪しいですね

抽象的に考えるより、
どういう理屈で模範解答が進んでいるか、
具体的な問題を何問か通して
慣れていった方がよいかと思います