Question

し　【難関大学志望】

なんで、g＝1の時とg＝2で場合分けが必要なのですか？教えてください。

問題5-7
和が22,最小公倍数が60となる2つの自然数を求めよ。
(東京電機大)
方針
これもp.62の公式2を利用します。
求める2数を a, b (a ≧ b), g = G(a, b) とおくと
a = arg
(a, b, は互いに素な整数)
16=big
と表せ
最小公倍数が 60 なので
a big = 60
･･･①←この式よりは60の約数と読みとれます
また, 2数の和が22なので (一般に, G(a, b) は (u, b) の約数です)
a+b=22
ag+b1g=22
∴ (a + big = 22 ②←この式より,gは22の約数と読みとれます
①,②より,
gは60と22の公約数ということは最大公約数2(=G(60, 22))の総
では1または2です。 あとは場合分けして処理します。

問題 5-7 の解答
求める 2 数を a,b (a ≧ b) とし,g = G(a,b) とおく。
このとき
[a = a1g
(a, b, は互いに素な整数) ← p.62 の公式2
1b=big
と表せる。 α ともの最小公倍数が60であるから,
a big = 60
... ① ←p.62 の公式2
またαとbの和が22であるから,
a + b = 22
ag + big = 22
∴ (a1+bi)g=22.②
①より」は60の約数,
②よりgは22の約数
よって、gは60と22の公約数
① ② より gは60と22の公約数であるから, gは1または2のいずれ
かである。
(1)g=1のとき
このとき
Jab1=60
...1
la + b1 = 22... ②
これを満たす整数 α1, b1 は存在しな
ar b₁ aibi
ai + b₁
偶
1偶偶偶奇
偶奇奇偶
偶
偶 奇
奇 偶
奇 奇 奇
上の表より abi, a + b が偶
数となるのはα と がともに
偶数のときしかありません。 こ
れはα」 と」が互いに素である
ことに反します。
いので、この場合は不適。
(ig=2のとき
このとき,
Ja1b1=30
lar+ b1=11
これより,
←積が30で和が11なので(11, 6, はらと5とわかる
(a,bi) = (65) ←azbより ab
以上, (i), (i)より求める 2数は
12と10←a= 201,b=261

Answer 1

なむる

それまでの議論でg=1かg=2のいずれかなので、それぞれについて考えれば答えに辿り着くからです。

し　【難関大学志望】

どうやったらg＝1,g＝2とでてくるのですか？