Question

らむ

①でyが4個存在する条件を絞った後、なぜ②でも4個存在する条件を調べなければ行けないのでしょうか？

また、yiを解に持つとし、yが4つ存在するという発想はどうすれば思いつくのでしょうか

2つ目の質問は無視して頂いても大丈夫
どなたか教えてください

(京大)
ME XX
の値を求めよ.
29-3) a b c d を実数とするとき、xの5次方程式
x+x+ax+bx+cx+d=0が相異なる純虚数の解を4つもつための条件
を求めよ.
(お茶の水女大)

係数を比較して、
a=-(mtn+2p)
b=mn+2(m+h)p+p²+q²
c=-{2mnp+(m+n)(p2+q²)}
....(3)
1=mn(p²+q²)
･･････ 4
a,b,c, m, nは整数であるから①より,
2pは整数, ②より, p2 + g2 は正の整数
である.
④より,
…‥..⑤, p2+q²=1......⑥
⑤より,
m=n=±1
......(7)
また, ⑥ と g≠0 より, -1<<1であ
るから, 2pが整数であることも用いて,
2p=-1,0,1
(8)
⑥ ⑦ ⑧ ①, ②, ③ に代入し、求め
る (a,b,c) は,
(a,b,c)
=(-1, 0, -1),(3,4,3), )
(-2,2,-2), (2,2,2),
(-3, 4, -3), (1, 0, 1)
mn=1
29-3 yi (y は実数で y≠0) が,xの
方程式x+x+ax+bx+cx+d=0
の解となる条件は,
yity-ay'i-by'+cyi+d=0
‥. (y^- by'+d)+y(y^-ay'+c)i=0
よって,
であり
[y-by2+d=0
ly-ay²+c=0
(a-b)y=c-d
ly-ay²+c=0
(2)
と同値である.
a=6であれば, ① をみたす実数yの個
)(1)
数は2以下となる。
a=b, c≠d であれば, ① をみたす実数
y は存在しない。
よって, ① かつ ② をみたす実数y (y≠0)
が4個存在する条件は、
a=b,c=d であって、かつ
② をみたす実数y (y≠0) が4個存在す
る......(*)
ことである.さらに(*)は,t の2次方程
式
f-at+c=0-
が異なる2個の正の実数解をもつことと
同値であり,そのための a,c の条件は
0-a>0, c>0, a²-4c>0
となる.したがって, 求める条件は次の
ようになる.
a=b,c=d
a>0, c>0
a²-4c>0
30-1 与式を変形して
2(x2+x-2)+(x+1)(x+a)i=0
x, a は実数であるから,これは
[x2+x-2=0
[(x+1)(x+a)=0
と同値である.
① は (x+2)(x-1)=0
∴x=1, -2
であるから
「 ① かつ②」
x=1
L2(a+1)=0
x=1
a=-1
したがって, a = -1, 2
これより
または
または
① ② より
x=-2
-(a-2)=0
30-2 純虚数解を ai (a は実数で
a≠0) とおく.
x=ai を与式に代入して
(1+i)(-α²)+(k+i)ai+3-3ki=0
-a²-a+3=0
l-a²+ka-3k=0
x=-2
a=2
La
(-a²-a+3)+(-a²+ka-3k) i=0
a, k は実数であるから
-(1+k)a+3+3k=0
∴. (k+1)(3-α)=0
.. a=3 または k=-1
......1
α=3 は ① をみたさない.
k=-1 のとき, ① ② は一致し, ① の判
別式 D=1+12=13>0 であるからαは

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

きらうる

おそらく解説の左側下から10行程度の解説のことをおっしゃっていると思われますが、

a≠bであったときは、y²＝(c-d)/(a-b)
となって、yの解は最大でも2個になるので、
4個になることはないから不適。

a＝b、c＝dであれば、①は0・y＝0となり、yがどんな値をとっても成り立つので、②の式からyの解が4つ出てこれば、問題の"相違なる純虚数が4つ"持つことになります。

だから、①ではyの解を4つ持つ条件を求めることはできず、②でしか4つ持つことが示すことができないので、②を使っているのです。

いかがでしょうか。

らむ

ありがとうございます！
この質問から少し逸れる質問ですがよろしいでしょうか...?

この問題は実数係数なので　共役な複素数をもつという性質を使って (与式)＝(x +pi)(x -pi)(x +qi)(x -qi)(x−r)
p,qは≠0の実数　rは実数
として求めていくのはダメでしょうか？
(自分はできませんでした)

きらうる

できますよ。多分こっちの方が最初に思いつくはずです。

(与式)＝(x+pi)(x-pi)(x+qi)(x-qi)(x−r)
p,qは≠0の正の実数でp≠q　rは実数

展開すると
＝(x²+p²)(x²+q²)(x-r)
＝(x⁴+(p²+q²)x²+p²q²)(x-r)
＝x⁵-rx⁴+(p²+q²)x³-r(p²+q²)x²+p²q²x²-rp²q²

これと元の式が一致すればいいので、係数比較して
1＝-r…①
a＝p²+q²…②
b＝-r(p²+q²)…③
c＝p²q²…④
d＝-rp²q²…⑤

①を③⑤に代入して、それぞれ
b＝p²+q²より、a＝b
d＝p²q²より、c=d

p,qは正の実数なので、p²+q²＞0、p²q²＞0より、
a＝b＞0、c＝d＞0

p²､q²が2つの解である2次方程式
t²-(p²+q²)t+p²q²＝0　は異なる2つの実数解を持つので、
D＝(p²+q²)²-4p²q²＞0
これに②④を代入して、
→　a²-4c＞0

よって求める条件は、
a＝b＞0、c＝d＞0、a²-4c＞0

です。

らむ

なぜp,qが正である必要があるのでしょうか？
何度も質問してすみません🙇

きらうる

最初に純虚数を±pi、±qi　と置いていますよね。
これ、pが正でも負でも同じ解にしかならないので、最初に正に限定しています。

まあ、そこで正の実数と設定しなくても、
b＝p²+q²より、a＝b
d＝p²q²より、c=d
ここのところでpやqが負であっても、必ずbやdは正になるので、最終的にa,b,c,dはすべて正になることを言っても良いと思います。

らむ

理解出来ました
ありがとうございます！

Answer 2

和

1つ目
そもそも求める条件は①かつ②だから、
①の条件のみでは足りません

2つ目
純虚数はyi(yは0でない実数)
と単純に表せるから、そのようにおく、
これは解だから代入する、
というのはとても自然なことだと思います