Question

奏音

数Ⅲ 複素数平面

下の写真の青ペンのところはなぜでしょう

よろしくお願いします

重要 例題 38 直線に関する対称移動
複素数平面上の原点を0とし, 0 と異なる定点をA(α) とする。 異なる2点
P(z) Q(ω) 直線OAに関して対称であるとき, aw=az が成り立つことを
証明せよ。
指針>
解答
直線OAに関して
点Pと点 Q が対称
が基本となる。 (*) の2つの条件を複素数で表す。
別解] 複素数平面において, 実軸に関する移動は,
点z
このことを利用する。 すなわち, 対称軸 (直線 OA) が実軸
に重なるように移動してまた戻す、という要領で, 回転移動
と実軸に関する対称移動の組み合わせで考える。 具体的には,
次の順番で移動を考える。 ただし, 0はαの偏角である。
P
OA に関して対称
P
PQ HOA であるから,
ある。
よって,
z w
a
共役な複素数として表される。
点えのように、
+
z-w
a
z-w
a
+
Qは
-0回転
W-Z
2-0
2-w
a-0
PQLOA
線分PQの中点が直線OA 上
z-w
P'
= 0 から
から
=0
実軸対称
じゃないの?
は純虚数で
Q'
0回転
(*)
P(z)
A(a)
4
Q(w)
0(0)
基本10. 重要 37
P
t
YA
0
◄z-w*0
が純虚数
●+0=0,
直線OA
実軸
対称
0 ¥0

Answer 1

✨ 最佳解答 ✨

やっほー

この際結論として言いたいのは分数が"純虚数である"ということです。そこから純虚数の条件（a+a'=0 a'は共役複素数）を利用して解いています。なので、分子がw-zでもz-wでも2線分が垂直なので純虚数にはなります。
ただし、この分数を"極形式で表す"ならば話は違います

奏音さんの方法では左辺＝i となり
解答の方法では左辺＝-iとなるので

扱いやすいのは奏音の形ですね
ですが今はそこまで考慮する必要がない（とにかく純虚数であれば良い）ので、解答の言っていることに間違いはないです

奏音

とてもわかりやすかったです
ありがとうございました！