Question

さん

データの分析の問題です。(4)の途中(青で囲まれた部分)からわかりません。なぜこうなるのか教えてください。

実戦問題32 相関表と分散 相関係数
あるクラスの20人の生徒を対象に 国語と常話のテストを行った。いずれのテストも付品
は 10点満点であり,点数はすべて整数の値である。右の表は、国語のテストの得点をx,
央語のテストの得点をyとして、2つのテストの得点と人数をまとめたものである。
以下,小数の形で解答する場合、指定された桁数の一っ下の桁を四捨五入し,解答せよ。
途中で割り切れた場合,指定された桁まで0を記入せよ。
また,必要であれば、5 = 2.236 を用いよ。
国 語
x
y|| 10
8|7
6|5
10
9
1
8
英
7
2|2|2
1
3
語
6
2
5
1
計
2|3
(1) 変量x, yのデータをもとにそれぞれの箱ひげ図を作成した。変量x
の箱ひげ図は
O
変量 yの箱ひげ図は イコである。
に当てはまるものを,右のO~Qの中から一つずつ 0
「ア]
選べ。
(2) 変量xの平均値は ウー エ
四分位偏差はオ ][カキ
の
分散は
ク
ケである。
3
次に,変量yの平均値は コ
標準偏差は
|スセ
の
シ
である。
(3) 変量xと変量yのテストの得点の共分散は ソ タチ]である。
よって,変量 x と変量 yの相関係数は ツ テト]である。
(4) 変量xの各データの値を2倍して ナ 回を加えて得られる変量を 2,変量yの各データの値に 10 を加えて得
られる変量を uwとすると,zと w の平均値は一致する。
このとき,変量zの分散は変量xの分散のヌ]ネ]倍であり,変量 w の分散は変量 yの分散の コハ倍
である。
さらに,変量2と変量 w の共分散は,変量x と変量yの共分散の ヒ フ倍であるから,変量zと変量wの相関
係数は,変量xと変量yの相関係数の へ
10
ホ
倍である。
解答
(1) 変量x,変量yともにデータの総数は 20 であるから,それぞれの
データを小さい方から並べたとき
第1四分位数は5番目の値と6番目の値の平均値
中央値は 10 番目の値と 11 番目の値の平均値
第3四分位数は 15 番目の値と16 番目の値の平均値
である。よって,変量 x,yの最小値,最大値,四分位数は下の表の
ようになる。
Key 1
最小値|第1四分位数 中央値||第3四分位数 最大値
変量x
5
6
7
7.5
9
変量y
5
7
8
9
10
よって、変量 xの箱ひげ図は3,変量yの箱ひげ図はのである。
(2) 変量xの平均値 x は 大お 関
x =
-(9×2+8×3+7×9+6×5+5×1) = 7.0
また,変量xの四分位偏差は
(7.5-6) = 0.75
(四分位偏差)
さらに,変量 xの分散 S°は
O)
-{(9-7)×2+(8-7)°×3+(7-7)°×9-
20
1
;(第3四分位数)
三
Sg?=
2
ー(第1四分位数)
+(6-7)°×5+(5-7)°× 1}
(O)9
= 1.0
また,変量yの平均値 yは
(10×3+9×4+8×7+7×3+6×2+5×1)= 8.0
20
y

また,変量yの分散 sy? は
EECOO0
Sy?= (10-8)* ×3+(9-8)°×4+(8-8)?×7
20
の る お
ケ
+(7-8)°×3+(6-8)?×2+(5-8)* ×1}
= 1.8
よって,変量yの標準偏差 Sy は
中
V9
35
5
3
Sy=V1.8 =
*(標準偏差)=(分散)
5
5
=3×2.236 -:5= 1.3416 = 1.34
(3) 変量xと変量yの共分散 sxy は
( 0 以m
(8-7)(9-8)×1+(6-7)(10-8)×1
(共分散)
= (x の偏差)×(yの偏差)の平均)
Sxy =
20
+ (6-7)(9-8)×1+(6-7)(6-8)×2+(5-7)(5-8)×1}
= 0.40
|よって,変量xと変量yの相関係数rは ズゴ1回
2,5
=2×2.236 - 15
15
Srv
0.40
3
1.0×
V5
= 0.298.……= 0.30
Sx*Sy
〈参考)
国 語
y||| 10|| 9|8の| 6
x
国語か英語かのいずれかの点数が平均値と同じであった生徒
(表中の網掛け部分)のデータの値は,共分散の値に影響しない。
(4) 変量xの各データの値を2倍してαを加えて得られる変量zの平均
計
10
|21
3
9
1|2|1
4
値は
7
英
7
語
|3
3
2
2x+α=14,0+g
6
2
2
また,変量yの各データの値に10 を加えて得られる変量 w の平均値
罪小1 間
1.381分に
5
1
1
は
9|5|1|20
2 2
これが一致するとき
y+ 10 = 18.0
JS物内 a, cを正の定数,b, d を定数
とする。
14.0+a= 18.0
よって
Q = 4.0
変量Xの平均値を E(X),分
元人れ
このとき,2= 2x+4, w= y+10 であるから
散をV(X) とすると
E(aX +6) = aE(X)+b
V(aX + b) = a°V(X)
また,2つの変量X, Y の共分
散を S(X, Y),相関係数を
R(X, Y)とすると
S(aX +6, cY+d)
aeS(X, Y)
R(aX+6, cY+d)
= R(X, Y)
すなわち, a>0, c>0 のとき,
2 2
V2
変量2の分散は変量xの分散の 2° = 4.0(倍)
変量 w の分散は変量yの分散の 1° = 1.0(倍)
さらに,変量zと変量wの共分散は,変量xと変量yの共分散の
2×1= 2.0(倍)である。
また,変量zと変量 w の相関係数は変量xと変量 の相関係数の1.0
倍である。
台護
るケ 0 相関係数は変わらない。
GNN

データの分析