Question

第1志望に合格したい。

(4)の解説についてわからないところがあります。
どうして
0=mv^2/2-mgx+kx^2/2になるのですか。

が自然の長さとなるように, 板を用いて物体を支える。 ばねが
自然の長さのときの物体の位置を原点として,鉛直下向きを正
とするx軸をとり, 重力加速度の大きさをgとする。
162.弾性体のエネルギー■ 図のように, ばね定数kのばねの
162.弾性体のエネルギー■図のようにぼうき粉もの代わ
上端を天井に固定し,下端に質量mの物体を取りつける。 ばね
自然の
長さ
0000000
物体
(1) 板をゆっくりと下げ, 物体からはなれるまでの間で, 物体 板
が受ける垂直抗力の大きさと位置xとの関係をグラフで示せ。
(2) (1)の場合において, 板が物体からはなれるときの物体の位置x を求めよ。
ばね
0
(3) 板を急に取り去った場合, ばねの伸びが最大となるときの物体の位置 x を求めよ。
(4) (3)の場合において, 物体の速さが最大になるときの物体の位置xと,そのときの
速さをそれぞれ求めよ。
(拓殖大改)
例題12)

162. 弾性体のエネルギー
解答
(1)解説を参照 (2)
mg
(3)
2mg
k
k
mg
m
(4)x=
g
k
k
指針 (1)(2)物体は重力, 弾性力, 垂直抗力を受け,それらの力はつ
りあっている。 物体の位置がxのときのつりあいの式を立てる。 また、
板が物体からはなれるとき, 垂直抗力が0となる。 (3) 物体は重力,弾
性力の保存力だけから仕事をされ, その力学的エネルギーは保存される。
ばねの伸びが最大になるとき, 物体の速さは0となる。 (4) 運動エネル
ギーをxの関数として式で表し、 速さの最大値を求める。
(1) 問題文の 「ゆっく
りと下げ･･･」とは,力が
つりあったままの状態で
板を下げることを意味す
る。
解説 (1) 物体の位置がxのとき, 弾性力は鉛直
上向きにkxであり, 物体が受ける力は図1のよう
に示される。 力のつりあいから
N
kx
mg
N
mg-kx-N = 0 N=mg-kx ... ①
これから,Nとxとの関係を示すグラフは,図2の
ようになる。
0
mg
I
x
k
図 1
mg
図2
(2) 板が物体からはなれるときは, N = 0 となる。
図2のグラフから, N = 0 となるxの値は, x=
mg_
k
(3) x=0を重力による位置エネルギーの基準とし, 板を急に取り去っ
た直後と ばねの伸びが最大になったときとで, 力学的エネルギー保
存の法則の式を立てる。 板を急に取り去った直後, 運動エネルギー,
重力および弾性力による位置エネルギーは,いずれも0である。 ばね
の伸びが最大になるときの物体の位置を x1 とすると,その位置での
運動エネルギーは0, 重力による位置エネルギーは-mgx1, 弾性力
00000000
E=0
X
E=0-mgx+ckx2
1
x
図3
-00000000-0
0

問題 163 164
による位置エネルギーはkx2と表される(図3)。 これから, 力学」
的エネルギー保存の法則の式を立てると,
0=0-mgx+
-kx₁²
2
2mg
x = 0,
0=x(kx-2mg)
k
x=0は板を取り去った位置なので、解答に適さない。 したがって,
x1 =
2mg
k
(3)
ルギー
一重
よる位
である。
(4) 速さが最大になるときの物体の位置をx2とする。 板を取り去った
直後とで,力学的エネルギー保存の法則の式を立てると,
○
き 重力
物体の
0
1=1/21/mu-mgx2+1/12/kx2
ルギー
力による
はkx22/2
mv²=mgx2
1
2
1
2
m²-max,-kx²--(x² - m² )² + m² ² --- 2
2
mg
m2g2
...2
1
2
2k
mv
2
速さ”が最大となるのは, 式 ②が最大値となるときである。したがっ
めるには
て, x2=-
mg
k
のとき, 1/12m
m2g2
mv2 は最大値
となる。
平方完成
2k
求める速さひは,1/12m
mv² m²g2
←式②の
m
v=
2k
Vk g
係数が負