あり
ない
ない
基本 例題 59 √7 が無理数であることの証明
00000
√7 は無理数であることを証明せよ。ただしnを自然数とするとき, nが7の
倍数ならば, nは7の倍数であることを用いてよいものとする。
[ 類 九州大 ]
指針 無理数であることを直接証明することは難しい。 そこで, 前ページの例題と同様
直接がだめなら間接で 背理法
基本 58
4
解答
に従い 「無理数である」 = 「有理数でない」を,背理法で証明する。
つまり、√7 が有理数(すなわち 既約分数で表される)と仮定して矛盾を導く。・・・・・・・・・
[補足] 2つの自然数α, bが1以外に公約数をもたないとき, αとは互いに素である
(数学 A 参照)といい, このときは既約分数である。
して
る。
√7 が無理数でないと仮定すると, 1以外に正の公約数をもた
ない自然数 α, b を用いて7 と表される。
a
√7 は実数であり、無理
b
このとき
両辺を2乗すると
a=√76を用いて
a2=762
①
でないと仮定しているか
有理数である。
この両辺を2乗すると
よって, αは7の倍数であるから, a も 7の倍数である。 例題の「ただし書き」を
いている。
ゆえに, cを自然数として, α = 7c と表される。
a2=49c2
① ② から 762=49c2 すなわち 627c2d
②
よって, 62 は7の倍数であるから, 6も7の倍数である。
ゆえに α ともは公約数7をもつ。
これも「ただし書き
る。
これはaとbが1以外に公約数をもたないことに矛盾する。
したがって√7 は無理数である。
