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お互いに身長の異なる8人を,山の形に整列させる. i番目に並ぶ人の身長とし,一
番高い人をk (2≦k≦7) 番目に配置することにすると,これを数式で表記すれば,
h₁<h₂<<hr hr>...> he
である。このとき、以下の問いに答えよ。ただし,Co+i+,2,Cn=2" が成
り立つことを用いてもよい。
(1) k=3となる並べ方は何通りあるか答えよ.
(2) 2≦k≦7 に対して, 並べ方は全部で何通りあるか答えよ.
(3)n(n≧3)人を同様に整列させるとき,2≦k≦n-1 に対して, 並べ方は全部で何通り
あるか答えよ.
8人を身長の低い順に, 1, 2, 3, ..., 7, 8 とする.
k=3 というのは、3番目に⑧がきていて
AAD
となる場合である.
左の2つの△△は, 7人から2人を選び, 身長の低い
順に並べて,右の5つの□□□□□は、残りの5人を身
長の高い順に並べるので
C2=21 (通り)
(2) たとえば,k=2のときだと,
A
で、△は7人から1人を選び, 6つの□には身長の高い
順に並べるから,
C2=7(通り)
というようになっている
したがって, まとめると, k=2,3,4,5,6,7に対し
て ⑧の左の△のところに, 7人から1人、2人,3人,
4人,5人,6人を選び, 身長の低い順に並べることにな
るので,
7C1+7C2+1C3+7C4+7C5+7C6
△△に入れる2人を選べば,
条件を満たす並べ方は1通り
に決まる.
章末問題
={7C0+(C1+7C2++7C6)+7C7}-(7C0+7C7)
=27-2
=126(通り)
(3)人を身長の低い順に ① ② ③ ... とする.
(2)と同様に,たとえば,k=2のときだと,
A
で,これは,
(n-2) 人
k=3のときだと,
(通り)
大
Co+nCi+C=2" を
利用. なお、この等式は、数
学Ⅱで学習する二項定理を用
いて導くことができる.
を除く (n-1) 人から
1人を選ぶ
(n-3) 人
で
(通り)
したがって, 並べ方は全部で,
n-Ci+n-1C2+n-1C++n-1Cn-2
={n-Co+(n-1C2+n-1 C2++n-1Cn-2)+n-1Cn-1}|
.....
-(n-1Co+n-1Cn-1)
△△に⑦を除く (n-1) 人か
ら2人を選び、身長の低い順
に並べる.
2-1-2 (通り)
