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基本例題 81 2次関数の最大・最小
aは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=x²-4x+5について、
問いに答えよ。
(1) 最小値を求めよ。
最大値を求めよ。
指針 区間は 0≦x≦a であるが, 文字 α の値が変わると, 区間の右端が動き, 最大最小
なる場所も変わる。 よって, 区間の位置で場合分けをする。
(1) ソーバ(x)のグラフは下に凸の放物線で、様が区間になれれば頂点で
小となる。ゆえに、軸が区間≦x≦はに含まれるときと含まれないときで場合が
|軸
[1]
軸が区間
の外
[3] 軸が区間の
中央より右
・軸
最大
区間の
中央
(2) y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で,軸から遠いほどy
の値は大きい (右の図を参照)。
よって、 区間 0≦x≦αの両端から軸までの距離が等しくな
るような (軸が区間の中央に一致するような) α の値が場合
分けの境目となる。
[4] 軸が区間の
中央に一致
軸
i
1
最小
最大
f(a)=a²-4a+5
[1]
[2]
軸が区間
の内
● 最大
x=0
の距離が等
しいとき。
区間の
中央
f(x)=x²-4x+5=(x-2)+1
解答 y=f(x)のグラフは下に凸の放物線で, 軸は直線x=2
(1)軸 x=2 が 0≦x≦αの範囲に含まれるかどうかで場合
分けをする。
[1] 0<a<2のとき
図 [1] のように,軸 x=2は区
間の右外にあるから, x=aで
最小となる。
最小値は
↑ 最小
軸
最小
←区間の両端 [5] 軸が区間の
から軸まで
中央より左
軸
x=
|x=2
小
O
GF
軸
[] 最大
区間の
中央
f(x)=x²-4x+22
-2²+5
指針」
軸x=2が区間0
★の方針
に含まれるかどうかで、
最小となる場所が変わる
区間の右端で最小。