解答を読んでも分かりません。なぜ、解答のような解き方をすれば求められるのかが

数学

高校生

解決済み

3年以上前

大学1年生

解答を読んでも分かりません。なぜ、解答のような解き方をすれば求められるのかが分かりません💦
分かりやすく教えていただきたいです！お願いします🙇🏼‍♀️

ンン 441 100! が 2” で割り切れるような正の整数 z の最大値を求めよ。また, 100!が6 で割り切れるような正の整数 z の最大値を求めよ。

441 1 から 100 までの整数のうち, 素因数2のーー個数が 1 個以上の数は 2 の倍数であるから, その個数は 50個素因数2 の個数が2 個以上の数は2? の倍数であるから, その個数は 25 個同様にして, 素因数 2 の個数が 3 個以上の数 12 個 4 個以上の数 6 個 5 個以上の数 3 個 6 個以上の数 1個 7 個以上の数 0 個よって, 100! に含まれる素因数 2 の個数は 50寺25十12十6填38二1三97 (個) すなわち, 100! が2? で割り切れるような正の整数 , の最大値は 97 である。また, 1 から 100 までの整数のうち, 素数 3 の個数が 1 個以上の数 33 個 2 個以上の数 11 個 3 個以上の数 3個 4 個以上の数 1個 5 個以上の数 0個よって, 100! に含まれる素因数 3 の個数は 38二11+8二1 = 48 (偶) したがって, 100! は, 2, 3 を素因数にもたない正の整数 2 を用いて, 次のように表される。 100! = 27・3%・2 ーー 29・(2・3)堂・2 ー 29・68・7 Z は 6 を因数にもたないから, 100!が6? で割り切れるような正の整数 7 の最大値は 48 である。

数a 約数と倍数

回答

✨ ベストアンサー ✨

たぬきち

3年以上前

例えば10までで考えると
10×9×8×7×6×5×4×3×2×1
のうち
9×7×5×3×1の部分は2では割れないので
8×6×4×2の部分が2で何回割れるのかを考えます。
2と6は1回
4は2回
8は3回なので
1回×2個
2回×1個
3回×1個で計7回2で割れますね
こらを考える時に
2,6→1回分カウント
4→2回分カウント
8→3回分カウント
と数えれば良いのですが、
ここで
2の倍数
2²=4の倍数
2³=8の倍数という風に着目すると
2の倍数→2,4,6,8
4の倍数→4,8
8の倍数→8
と4や8を効率よく目的の数だけ重複して数える事ができます。
この考えに基づくと
1〜100の中で
2¹の倍数→50個
2²の倍数→25個
2³の倍数→12個
2⁴の倍数→6個
2⁵の倍数→3個
2⁶の倍数→1個となるので
100!は50+25+12+6+3+1=97で97回2で割る事が出来ます。

6で割る回数については
6=2×3ですので
2と3が何個ずつ約数に現れるかを考えます。
2は上で97と求まっているので
3について
3¹→33個
3²→11個
3³→3個
3⁴→1個で
計 33+11+3+1=48回約数に現れます。
従って
100!は
2⁹⁷×3⁴⁸×(2と3を約数に持たない自然数)
6⁴⁸×2⁴⁹×(2と3を約数に持たない自然数)
となるので6では48回割る事ができます。

素因数分解をした時に何回2,3が登場するかを考えるとわかりやすいでしょうか。