(1) pqの自身を除く約数は1, p, qなのでpq=p+q+1が成り立ちます. これは(p-1)(q-1)=2と書くことも出来ます.
対称性に注意してp>qとするとp=3, q=2のみが条件を満たす素数となります. 以上からpqという形の完全数は6のみです.
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(2) 同様に考えると, r^2sの自身を除く約数の和は(1+r+r^2)(1+s)-r^2sと書けます.
これがr^2sに等しいので2r^2s=(1+r+r^2)(1+s)⇔(r+1)(s+1)=r^2(s-1)が成り立ちます[ヒントである(1)を活用する].
連続する整数であるrとr+1は互いに素で, 一方は偶数です. 偶数の素数は2のみであることに注意すると, r=2に限られます.
このとき(2+1)(s+1)=2^2(s-1)⇔s=7で条件を確かに満たします. 以上からr^2sの形で書ける完全数は2^2*7=28のみです.
[別解2]
2r^2s=(1+r+r^2)(1+s)⇔s=(r^2+r+1)/(r^2-r-1) [sをrの式で表す]=1+{2(r+1)/(r^2-r-1)} [これは素数, 少なくとも整数]
分母のr^2-r-1=r(r-1)-1≧2(2-1)-1>0は正の奇数で, r+1とr^2-r-1=(r+1)(r-2)-1が互いに素であることに注意します.
2の正の奇数の約数は1のみだからr^2-r-1=1と結論出来て, これを解くことでr=2と決まります.
[訂正] ごめんなさい. (2)の最初の解答は論理的に不十分なのですべて削除し, 以下に差し替えてください.
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(2) 同様に考えると, r^2sの自身を除く約数の和は(1+r+r^2)(1+s)-r^2sと書けます.
これがr^2sに等しいので2r^2s=(1+r+r^2)(1+s)⇔(r+1)(s+1)=r^2(s-1)⇔ r^2/(r+1)=(s+1)/(s-1)が成り立ちます.
sが素数であることに注意すると, r^2/(r+1)=(s+1)/(s-1)≦(2+1)/(2-1)=3⇔r^2-3(r+1)≦0がいえます.
不等式r^2-3(r+1)≦0を満たす素数はr=2, 3のみで, r=2のとき, 3(s+1)=4(s-1)⇔s=7で条件を満たします.
一方, r=3のとき, 4(s+1)=9(s-1)を満たす素数sは存在しないので, r^2sの形で書ける完全数は2^2*7=28のみです.
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整数の性質を活かした解法だと最初の別解になると思います. 別解2からは整数問題での式の見方を学べると思います.
[追加] 以下のように解いてもよいでしょう.
1+r+r^2は1+r(r+1)と書けるので奇数です. また1+r+r^2とr^2は互いに素なので, 適当な自然数ℓをとって
1+s=2r^2ℓと書くことが出来ます. このときs=(1+r+r^2)ℓとなりますが, sは素数なのでℓ=1に限られます.
s=1+r+r^2で, 元の式に代入すると1+(1+r+r^2)=2r^2⇔r^2-r-2=0⇔(r-2)(r+1)=0でr=2が条件を満たします.