✨ ベストアンサー ✨
正しくありません. 背理法による証明と対偶命題の証明を理解していないように見受けられます.
証明の方針としては「0ではない有理数a, bの演算は有理数に閉じていること」と「√2が無理数であること」が矛盾している.
そこで背理法が使えるのではないかと考えてみるわけです.
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bが0ではない有理数と仮定すると, a+b√2=0⇔√2=-a/bと変形できる.
√2は無理数だが, -a/bは有理数なのでこの等式は不合理である.
したがってb=0であることが等式成立のために必要で, このときa=0となってa+b√2=0が恒等的に成り立つ.
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対偶命題「a, bが0ではない有理数のとき, a+b√2≠0」. これを示すのは少し手間が必要になります.
まず0以外の有理数と無理数の積は無理数である[これを背理法で示す]ことからb√2は無理数です.
有理数と無理数の和は無理数である[これを背理法で示す]ことからa+b√2は0にはなりえない.
分かってもらえてよかったです.
無理数というのは有理数でない実数です. 言い換えると, 有理数全体と無理数全体の和集合が実数といえます.
このタイプの問題で背理法が有効なのはそこに理由があります.
そういうところまで認識できると, 証明の方針も立てやすくなると思います.
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[注] 回答で宿題にしておいた証明の確認をしておきます.
0以外の有理数と無理数の積は無理数である
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0以外の有理数aと無理数bの積が有理数c[この仮定から矛盾を導く]であると仮定する.
このときab=c⇔b=c/aとなるが, bは無理数, c/aは有理数なのでこの等式は不合理である.
したがって背理法からcは無理数[有理数ではない実数は無理数]である.
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有理数と無理数の和は無理数である.
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有理数aと無理数bの和が有理数c[この仮定から矛盾を導く]であると仮定する.
このときa+b=c⇔b=c-aとなるが, bは無理数, c-aは有理数なのでこの等式は不合理.
したがって背理法からcは無理数である.
分かりました！
ありがとうございました！