Question

み

解答と合いません。どこが間違っているのでしょうか

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Ao

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

鹿

求めたいのはa[n]では？

み

bnを求めたいです。どこが間違っているのでしょうか。

鹿

c[n+1] = 3c[n] より、c[n]は初項c[1]=8、公比3の等比数列
よって、c[n] = 8•3ⁿ⁻¹
b[n] + 2 = c[n] としたので、
b[n] + 2 = 8•3ⁿ⁻¹ ↔︎ b[n] = 8•3ⁿ⁻¹ -2 となります

み

ありがとうございます！

Answer 2

LUX SIT

まず上手い設定方法はa[n+1]+p(n+1)+q=3(a[n]+pn+q)です.
式変形するとa[n+1]=3a[n]+2pn+(2q-p)で, これがa[n+1]=3a[n]+4nとなれば都合がいいです.
見比べるとp=2, q=1とすればいいことが分かります[ここまでは計算用紙でやる].
***
a[n+1]=3a[n]+4n⇔a[n+1]+2(n+1)+1=3(a[n]+2n+1)と変形できる.
数列{a[n]+2n+1}は公比3の等比数列だからa[n]+2n+1=3^(n-1)(a[1]+2*1+1)=4*3^(n-1)
⇔a[n]=4*3^(n-1)-2n-1と数列{a[n]}の一般項は求まる.
***
¹¹‪‬さんのやり方だと
下の解答を見れば分かりますが, 最後から2行目のc[n]をb[n]+2=8*3^(n-1)と置き換えるころが間違いです.
無理に置き換えしすぎて文字を扱えなくなっている印象を受けます. あくまでも置き換えは整理の助けです.
***
a[1]=1, また漸化式からa[2]=3*a[1]+4=7.　
ここでn≧1でa[n+2]=3a[n+1]+4(n+1)が成り立つ. 元の漸化式との差をとると
a[n+2]-a[n+1]=3(a[n+1]-a[n])+4⇔(a[n+2]-a[n+1]+2)=3(a[n+1]-a[n]+2)
数列{a[n+1]-a[n]+2}は公比3の等比数列だから, a[n+1]-a[n]+2=3^(n-1)(a[2]-a[1]+2)=8*3^(n-1)
⇔a[n+1]-a[n]=8*3^(n-1)-2 [これは階差数列です.]
⇔a[n]=a[1]+Σ[k=1->n-1] 8^3(n-1)-2
=1+[4{3^(n-1)-1}]-2(n-1)
=4*3^(n-1)-2n-1と一般項は求まった.

み

ありがとうございます！