✨ ベストアンサー ✨
厳密には適切ではない表現や冗長な部分があるかもしれませんが、お答えします。結論だけ見たいなら最後だけどうぞ。
x(エックス)と×(かける)の区別がつきにくいので、「かける」は*で示します。「^」は累乗を表します。(例:2^3=8)また、数式の途中にスペースを入れている場合がありますが、見やすさを気にしただけなので特別な意味はありません。
(1)まず線分AHと線分DGの交点を点Iとでも置きます。(記号はPとかでもいいですが、大体アルファベット順に決めますね。ただし、AやBなどの他に使われている文字はダメです。)三角形ABHに注目すると、辺上の点D,E,Iおよび頂点Hは長方形の頂点になっています。。長方形ということは、各頂点の内角の大きさが決まります。すると、そこから∠AIDと∠DEBが導き出せます。ここで四角形DEHIは長方形なので、DE//HIになります。直線AHと直線IHは一致しているので、DE//AHが導けます。したがって、∠BDEと∠BAH(=∠DAH)は同位角なので等しくなります。同様に、∠DBE=∠ADIが導けます。すると、二角相当より、△ABH∽△ADI∽△DBEとなります。AH:BH = 10:6 = 5:3 なので、AI:DI = DE:BE = 5:3 が求まります。いま、EF=xより、EH=x/2が求まります。四角形DEHIは長方形なので、DI=EH=x/2、AI=DI*(5/3)=(5/6)xが求まります。あとはDE=IH=AH-AIを求め、DE*DIによって面積を求めるだけです。ここで求めた面積は長方形DEHIの面積なので、そのまま答えにしてしまわないように気を付けましょう。
(2)(1)が求まれば、問題集を353番までやっている人であれば、あとは簡単にわかると思います。
補足
△ABCを線分AHで二つに分けなくても解けます。多分その方が早いです。
いずれにせよ相似は使うと思うので、時間に余裕があれば相似条件も書くといいでしょう。
結論
(1)(x/2)*{10-(5/6)x}*2 = -(5/6)x^2 + 10x
(2)-(5/6)x^2+10x = -(5/6)(x^2 - 12x) = -(5/6)(x-6)^2 + 30
よって、面積の最大値はx=6のときで、30
冗長ですみませんでした。演習量を重ねれば対応できる問題も増えると思います。
相似を求めないと解けなかった訳ですね…二次関数の問題なので油断してました。
こんなに丁寧に解説して下さりありがとうございます！分かりやすかったです！