✨ ベストアンサー ✨
数列と級数の和の関係なので差分をとるのが自然でしょう.
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n=1のとき, a[1]=S[1]で, 漸化式から4a[1]/(a[1]+2)=a[1]⇔a[1](a[1]-2)=0
ここで数列{a[n]}のすべての項は正の数のみなのでa[1]=2と定まる.
n≧2のとき, 漸化式からa[n]=S[n]-S[n-1]=4S[n]/(a[n]+2)⇔S[n]=a[n](a[n]+2)/4
すなわち4a[n]=a[n](a[n]+2)-a[n-1](a[n-1]+2)
⇔(a[n]-1)^2-(a[n-1]+1)^2=0
⇔{(a[n]-1)+(a[n-1]+1)}{(a[n]-1)-(a[n-]+1)}=0
⇔(a[n]+a[n-1])(a[n]-a[n-1]-2)=0
数列{a[n]}のすべての項は正の数のみなので, a[n]+a[n-1]>0がいえるから
n≧2においてa[n]-a[n-1]=2
以上から数列{a[n]}は初項2, 公差2の等差数列で一般項はa[n]=2+2(n-1)=2nである.
このときS[n]=2n(2n+2)/4=n(n+1)である.
なるほど！
ありがとうございました！
[訂正]
最後ですがS[n]=a[n](a[n]+2)/4はn≧2で定義されているので, n=1のときの確認が必要です.
n=1のとき, S[1]=2=a[1]なのでこの場合も含む. と一言添えてください.
ただ幸いにもこの問題ではS[n]=Σ[k=1->n] 2k=n(n+1)とすぐに求まります[Nakiriさんの解答].
Σや和を使うときはn=1を示した後にn≦kが成り立つと仮定し、 n=k+1にも成り立つ、で証明すると思っていたんですが、それとは別なんですか？
質問の意味が完全につかめないので[訂正]の意味を噛み砕きます.
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一般項a[n]=2nは既にすべての自然数nで成り立っているので, 直接S[n]=Σ[k=1->n] 2k=n(n+1)と計算する分には問題ないです.
ところが関係式S[n]=a[n](a[n]+2)/4はn≧2のときで得られているのでS[1]を含みません
[これは解答の論理を理解してもらうしかありません. 場合分けの範囲をよく考えてください].
当然, この関係を利用して得られたS[n]=n(n+1)もn≧2において正しい式になります.
したがってn=1のとき, S[1](=a[1])=2がS[n]=n(n+1)の形で書けるか否かチェックしないと不味いわけです.
なるほど！ありがとうございました！
帰納法を使わずに解くこともできるんですか？
質問の意味を掴もうとあれこれ考えましたが, たぶん数学的帰納法が何なのかよく分かっていないのだろうと思いました.
漸化式というのは数列を帰納的に定義するものですから, 直接定義を探す解法が帰納法のようになるのは自然なことなのです.
[ここの説明が分からないなら, 教科書の数学的帰納法に関する項を読み直してください.]
確かに高校でも数列の極限[だからなのですが...]の問題で関数近似を使って解く問題もあるのですが, この問題に関しては不自然で考えにくいです.
すいません。帰納法をよくわかっていませんでした。
教えていただきありがとうございました‼︎
[補足]
少し我慢を強いられる箇所と式の観察眼が要求される箇所があります.
S[n]=a[n](a[n]+2)/4で止まるのではなく, もう一度a[n]=S[n]-S[n-1]を利用するところ.
4a[n]=a[n](a[n]+2)は(a[n]-1)^2-1, a[n-1](a[n-1]+2)は(a[n-1]+1)^2-1と見る. -1は打ち消し合う.