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教えてください(T T)

y商 [4STEP数学 問題413

2 つの曲線 ヵニ2?。 ニー 人   -9 の夫をり よ<

微分

Answer 1

LUX SIT

y=x^2の点(t, t^2)[接点を設定する]における接線は, y=2t(x-t)+t^2=2tx-t^2である.
この接線がy=-(x-2)^2の接線にもなっている[共通接線]ので, 2次方程式-(x-2)^2=2tx-t^2は重解を持つ.
方程式を整理するとx^2+2(t-2)x-(t^2-4)=0で, その判別式をDとすると
D/4=(t-2)^2+(t^2-4)=0⇔(t-2)^2+(t-2)(t+2)=0⇔(t-2){(t-2)+(t+2)}=0⇔2t(t-2)=0⇔t=0, 2
したがって共通接線はy=0とy=4x-4[t=0, 2のときのy=2tx-t^2]である.
***
[別解] 点対称性に注目する.
y=x^2とy=-(x-2)^2は点(1, 0)で点対称になっているので, 共通接線も(1,0)を通る.
したがって, 傾きmの共通直線y=m(x-1)がy=x^2に接している[対称性からもう一方を考える必要はない].
すなわち2次方程式x^2=m(x-1)⇔x^2-mx+m=0が重解を持つから, 判別式をDとすれば
D=m^2-4m=0⇔m(m-4)=0⇔m=0, 4
以上から共通接線はy=0とy=4x-4である.
***
[研究]
①x=kが共通接線ではないことを確認して, 共通接線をy=ax+bとして重解条件を調べる.　
②接点を設定し, 2つの曲線の接線が一致する, として連立方程式を解く.
という方法もあります. ただし計算量が多いと思います.
この種の問題を解くときは, どの方法が一番楽そうか判断することも大事になってきます.

LUX SIT

[訂正]
ここで"x=1は明らかに共通接線ではないので," 傾きmの直線y=m(x-1)がy=x^2に接しているといえる.
に修正してください.