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まず基礎知識を整理します.
*空間上に相異なる3点があれば, 平面を一意的に定めることが出来る.
*平面に垂直な法線ベクトルと平面上のある1点が分かれば, 平面を定めることが出来る.
*空間上のある点を始点とする線形(1次)独立な2つのベクトルで張られた図形は平面である.
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(1)
平面αの求め方は何種類かあります.
[解法1] 3点を通ることを利用する
平面αの方程式はax+by+cz=1と書ける. これが3点A, B, Cを通るので
2a+2b+c=1, 2a+b+c=1, b+2c=1
が成り立つ. これを解くとa=1/4, b=0, c=1/2だから平面αの方程式はx+2z=4.
[解法2] 平面内の2本のベクトルと垂直な法線ベクトルを一つ探し, 平面の方程式を作る
ベクトルAB=(0, -1, 0)とAC=(-2, -1, 1)に垂直なベクトルは(1, 0, 2)である
これが平面αの法線ベクトルで点Cを通るから方程式は
1(x-0)+0(y-1)+2(z-2)=0 [法線ベクトルと平面内のベクトル(x-0, y-1, z-2)は直交するので内積は0]
⇔x+2z=4.
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次に直線ℓ_1と直線ℓ_2の方程式はそれぞれ任意の実数s, tを用いて
ℓ_1: (x, y, z)=(0, 2, 1)+s(1, 1, 1)=(s, s+2, s+1)
ℓ_2: (x, y, z)=(0, 2, 1)+t(1, -1, 1)=(t, -t+2, t+1)
と表せる. [媒介変数s, tを消去すると通常の直線の方程式が得られます.]
ℓ_1とαの交点Eは
s+2(s+1)=4⇔3s=2⇔s=2/3からE(2/3, 8/3, 5/3)
同様にℓ_2とαの交点Fは
t+2(t+1)=4⇔t=2/3からF(2/3, 4/3, 5/3)
である.
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あとは平面α内の話なので余興です.
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(2) (1)の結果から
DE=(2/3, 2/3, 2/3)=(2/3)(1, 1, 1), |DE|=(2/3)√3=2/√3
DF=(2/3, -2/3, 2/3)=(2/3)(1, -1, 1), |DF|=2/√3
DE・DF=(2/3)^2とそれぞれ求まる.
内積の定義からcosθ=(2/3)^2/{2/√3}^2=1/3.
ここでθは鋭角であることに注意する.
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(3) △DEFの面積は(1/2)|DE||DF|sinθ=(1/2)(2/√3)^2*{√(1-(1/3)^2)}=4√2/9である.
いい質問です.
"求める(方法は後で説明しましょう)"ではなく"探す"と書いたのがポイントです.
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この問題の場合は特殊な形をしているので探しやすいです[計算量を減らすための工夫のために立ち止まる].
ベクトルABに垂直なベクトルを探すのは簡単で(p, 0, q)の形であればいいです.
一方, ベクトルACに垂直なベクトルも同じ形ですから(p, 0, q)の形のはずですね.
内積が0なので-2p+q=0⇔q=2pで(p, 0, 2p)=p(1, 0, 2)と決まります.
pは任意の実数なのでp=1を選べば簡単な整数比のものになります.
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複雑な形の場合は法線ベクトルを(1, p, q) [変数の設定は状況に合わせよう]と設定すればいいです.
2つのベクトルと設定した法線ベクトルの内積が0であることを利用すれば連立方程式が得られます.
2変数p, qに対して2つの方程式なので解けることは納得できるでしょう.
ありがとうございます
（1）の解法2で法線ベクトルはどうやって求めるのですか？