✨ ベストアンサー ✨
まず非常に綺麗な形をしていることに気づくでしょう.
x, y, zをどのように入れ替えても同じ形をしています[対称式].
また分母にx, y, zがあるのでx≠0, y≠0, z≠0であることを確認しておきましょう.
***
(x+y)/2z=(y+z)/2x=(z+x)/2y=kと置くと[求めたい値を文字にする]
x+y=2kz, y+z=2kx, z+x=2kyとなる.
すべて足すと2(x+y+z)=2k(x+y+z)⇔(k-1)(x+y+z)=0を得る[必要条件].
k-1=0⇔k=1のとき, x+y=2z, y+z=2x, z+x=2y⇔x=y=z(≠0)[成立条件が十分条件].
またx+y+z=0のときk=-z/2z=-x/2x=-y/2y=-1/2[kの存在が十分条件].
以上から
x=y=z≠0のとき式の値は0, x+y+z=0のとき式の値は-1/2
[それ以外の時は等式が成立しない]
である.
なぜx＋y＋Z=0のときを考えなければならないのですか？
必要条件の式
(k-1)(x+y+z)=0
が成り立つのはk-1=0の場合とx+y+z=0の場合があるからです.
ab=0ならばa=0 or[andではないことに注意] b=0であることを思い出しましょう.
[追加]
全部の場合を書くと
k-1=0, x+y+z=0ならば(k-1)(x+y+z)=0
k-1≠0, x+y+z=0ならば(k-1)(x+y+z)=0
k-1=0, x+y+z≠0ならば(k-1)(x+y+z)=0
k-1≠0, x+y+z≠0ならば(k-1)(x+y+z)≠0
です.
わかりました！とても丁寧な説明ありがとうございましたm(*_ _)m
[訂正]
x=y=z≠0のとき式の値は1
x+y+z=0かつx≠0, y≠0, z≠0のとき式の値は-1/2
にしてください.