Question

ハヤブサ四兄弟

数学的帰納法の証明についてです。(3)の画像一枚目の下線部がわかりません。教えてください。

⑬ (1+が"1キタが7 …… (0D Gy司計
国 ぁ=3のとき
① の両辺の差を考えると
d+が1+349=34+が>0
すなわち 1+が>1+372
よって, ぁ=3 のとき, ① は成り立っ。
図 愛3 として, ヵ=ニをのとき ① が成り立っ,

すなわち
Q+/が>1+が2 …… @
と仮定する。
ァーん1 のとき, ① の両辺の差を考えると,
⑨から

d+がサーHロ(を圭1
=(1+が人1がー人1+(&十1)
>1+ 291が)ー[1+(%十1)
=ん2ーム+1)

 

>0  5

すなわち   G+が>1+(を+12

よって, タ三を上1 のときにも①は成り立つ。
田 図から, >0 のとき, 3 以上のすべての自
然数ヶ々について ① は成り立つ。

Ye
人抽  %

学的帰納法によって, 次の不等式を証明せよ。
が自然数のとき。 キキrm

(《) 。が4以上の自然数のとき >3711

(⑳⑲) 7が3以上の自然数, >0 のとき HMI2
まし 、もやことあみ者国電衣

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Суу

一般に不等式を示す場合、大きいものから小さいものを引いた値が正であることを示せば不等号(具体的には(大きいもの)>(小さいもの))が成り立っていることを示すことが出来るわけです。

下から三段目の式ではhは問題文の条件から必ず正なので、(kh^2-k+1)が正であることを言えばいいことになりますね。
二次式が正であることを言う場合、平方完成をして、余った部分(この場合は下から二段目の式のカッコの中身「1-1/(4k)」の部分を余った部分と言っています)
が正であれば中括弧｛｝の中身も正といえますよね。

今、kは4以上の自然数です。(なぜならk≧3で、n=k+1のときを考えているから)なので、かならず1-1/4kは正ですよね。ついでに言うと、k(h-1/(2k))^2もkが4以上の自然数、つまり正なので正になります。

なので、下から２段目の式全体は正と言えるわけです

まわりくどかったらごめんなさい。

ハヤブサ四兄弟

ありがとうございます！