Question

ひな

分かりません！お願いします🙏🏻

ッ者日(  / 靖還
うめ 交の条件を満たすような定数 の値の箇
を求めよ。
る | ("2つの2次関数 ッー 2十2十多士2.

有      ッャーッ 十を十の のグラフが, ともに々x軸と
共有点をもつ。

(2) 2つの2次方程式 2一2z二47 三0,      5
ァ*ー27zz十2%十6 三0 の少なくともゃ一方が実
数解をもたない。

Answer 1

LUX SIT

長々と説明します. 必要なことはすべて入っていると思います.
***
aを0ではない実数[0だと1次方程式になります.], b,cを実数とします.
[実係数]2次方程式ax^2+bx+c=0の解は平方完成するとa(x+b/2a)^2-a*(b/2a)^2+c=0
これを以下のように変形することで解の公式が得られます.
(x+b/2a)^2=(b-4ac)/(2a)^2
x={-b±√(b^2-4ac)}/2a
***
2次方程式の解は√(b^2-4ac)の平方根の中身で分類することが出来ます.
そこでD=b^2-4acを判別式とすることで
D>0のとき, 実数解が2個, D=0のとき, 実数解1個, D<0のとき虚数解2個
と分かれます.
***
まずはこの流れをしっかり把握しましょう.
***
(2)の方が直接的な問題なので先に解説します.
2次方程式x^2-2mx+4m=0…①, x^2-2mx+m+6=0…②の少なくとも一方が実数解を持たない[虚数解を2個持つ, と同じですね.]
これを言い換えると
(i)①が虚数解2個, ②が虚数解2個, (ii)①が虚数解2個, ②が実数解 (iii)①が実数解, ②が虚数解2個
のいずれかだと言えます[ここは論理の問題です].
少しスマートに言い換えると
(a)①が虚数解2個[(i)と(ii)から②は実数解であれ虚数解であれ問題ない] (b)①が実数解, ②が虚数解2個
となります[慣れれば一発で分かります. ②が虚数解, ①が虚数解, ②が実数解としても解けます].
①の判別式をD_1, ②の判別式をD_2とすると
(a)D_1<0 (b)D_1≧0かつD_2<0
のいずれかと言えることが分かるでしょう.
***
条件が満たされるためには
x^2-2mx+4m=0の判別式が負, あるいはx^2-2mx+4m=0の判別式が0以上かつx^2-2mx+m+6=0の判別式が負であればよい.
つまりm^2-4m<0, あるいはm^2-4m≧0かつm^2-m-6<0であるmの範囲の和集合を求めたい.
m^2-4m<0⇔m(m-4)<0⇔0<m<4
また
m^2-4m≧0⇔m≦0, 4≦m; m^2-m-6<0⇔(m-3)(m+2)<0⇔-2<m<3なので共通部分は-2<m≦0.
-2<m≦0と0<m<4の和集合は-2<m<4なので, これが求める範囲となる.
***
[別解] "少なくとも...ない"の否定は"いずれも", "実数解"の否定は"虚数解"であることに注意すると...
2次方程式x^2-2mx+4m=0, x^2-2mx+m+6=0が共に実数解を持つ範囲は
m^2-4m≧0かつm^2-(m+6)≧0
⇔m(m-4)≧0かつ(m-3)(m+2)≧0
⇔m≦0, 4≦mかつm≦-2, 3≦m
⇔m≦-2, 4≦m
求める条件はこの条件の否定なので
-2<m<4.
***
最終的にはこの別解で解けるように訓練しましょう.
***
2次関数y=ax^2+bx+cがx軸と共有点を持つ
x軸はy=0なので2次方程式ax^2+bx+c=0が実数解を持つ
ことの言い換えであることが分かれば簡単です.
***
条件が満たされるためには
2次方程式x^2+2mx+m+2=0が実数解を持つ, すなわち判別式が0以上
かつ
2次方程式x^2+mx+m=0が実数解を持つ, すなわち判別式が0以上
であることが必要十分である.
m^2-(m+2)≧0かつm^2-4m≧0
⇔(m-2)(m+1)≧0かつm(m-4)≧0
⇔m≦-1, 2≦mかつm≦0, 4≦m
⇔m≦-1, m≧4
これが求める範囲である.

LUX SIT

***
2次関数y=ax^2+bx+cがx軸と共有点を持つ…
以降が(1)の解説です.
読めばわかると思いますが, 念のため付け加えておきます.