Question

ゲスト

代数です。
わからないので教えてください！
(1)pを3以上の素数とする。p+1次対称群の位数pの元の個数とシローp部分群の個数を求めよ
(2)(1)で求めたpシロー部分群の個数とシローの定理を合わせるとどのような合同式が得られるかを答えよ

群論

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

(1)
位数が素数pとなる置換は巡回置換のみです
p+1個の文字からpの文字を選ぶ方法はp+1通り
選んだp個の文字からなる巡回置換は(p-1)!通り
したがって、位数pの元の個数は
(p+1)•(p-1)! 個

p+1次対称群S_(p+1)の位数は(p+1)!なので、S_(p+1)のp-シロー部分群の位数はpです
よって各p-シロー部分群は巡回群になり、その元は単位元が一つ、位数pの元がp-1個です
また、これより相異なるp-シロー部分群に含まれる共通元は単位元しかないことも分かります(もし位数pの共通元があったら２つの部分群は一致してしまいます)
以上より、位数pの元が(p+1)(p-1)!個あり、一つのp-シロー部分群にはp-1個の位数pの元が含まれるため、p-シロー部分群の個数は
(p+1)(p-1)!÷(p-1)=(p+1)(p-2)! 個

(2)シローの定理より、
(p+1)(p-2)!≡1 mod p
が得られます

どこまでで正解とするのかは分かりませんが、上式を変形すると
1•(p-2)!≡1 mod p
(p-1)!≡p-1
≡-1 mod p
という式が導けます
これはウィルソンの定理と呼ばれる式ですね

ゲスト

ウィルソンの定理が背景にあったんですね！
また、位数の数え方といいぼんやりしていたものがはっきりしました。ありがとうございます！