Question

ももうさ

100！を素因数分解すると2^a、3^b、5^c、7^16、11^9、13^7…となる。a,b,cの値を求めよ。

という数A 整数の問題です。
画像は解答なのですが、何をしているのかわかりません。なぜ素因数の数?を調べるのですか？重複しないのですか？

数a 整数 整数と整式、有理数と有理式の類似 素因数分解 素因数 素因数分解の定理 階乗 100！ a b c 値 上智大学 倍数

Answer 1

クラタ

100！ が因数2をいくつ持つかを考えると、
1から100までの数で2の倍数の数は確実に持ちます。
2の倍数の数は100÷2で50個
このうち4(2^2)の倍数はさらにもう1つずつ2を因数に持つので、その数を考えると、
100÷4=25(50個÷2=25個でも可)
さらに8(2^3)の倍数はもう1個ずつ2を因数に持つので、その数を考えると、
100÷8=12あまり4で12個(25÷2=12個余り1でも可)
さらに16(2^4)の倍数はもう1個ずつ2を因数に持つので、その数を考えると、
100÷16の商で6個
さらに32(2^5)の倍数はもう1つずつ2を因数に持つので、その数を考えると、
100÷32の商で3個
さらに64(2^6)の倍数はもう1個ずつ2を因数に持つので、その数を考えると、
100÷64の商で1個
以上より、100！は2の因数を50+25+12+6+3+1=97個持つ。
要するに素数の累乗の個数の和=その素因数の数になる。で、どうかな？

Answer 2

ゲスト

たとえば、4＝2^2ですが、
2の倍数だけカウントすると、2^1分しか反映されないので、4の倍数としてもカウントして、合計2カウントで2^2になるんだと思います