Question

Ren

任意の部分集合が上限を持つ順序集合の元x,y,zにおいて、
sup{x,y,z}=sup{sup{x,y},z}
であることを示す方法がわかりません。
分かる方教えてください！

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

≦と≧をそれぞれ示せばよいです
基本的に
(a≦c かつ b≦c) ⇒ sup{a,b}≦c
を利用するとやりやすいと思います

< sup{x,y,z} ≦ sup{sup{x,y},z} >
supの定義より
x≦sup{x,y}≦sup{sup{x,y},z}
y≦sup{x,y}≦sup{sup{x,y},z}
z≦sup{sup{x,y},z}
したがって、
sup{x,y,z}≦sup{sup{x,y},z}

< sup{x,y,z} ≧ sup{sup{x,y},z} >
supの定義より
x≦sup{x,y,z}
y≦sup{x,y,z}
したがって、
sup{x,y}≦sup{x,y,z}
また、
z≦sup{x,y,z}
したがって、
sup{x,y,z}≧sup{sup{x,y},z}

以上より
sup{x,y,z}=sup{sup{x,y},z}

Ren

ありがとうございます！