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内積とはなにか。の結論だけいうならば数学者がベクトルを計算しやすいように勝手に定義した掛け算の方法です。
数(ここではスカラーをまず考えます。)a,b,cには演算法則が常に成立します。
とりあえず加法において
(a+b)+c=a+(b+c) ...結合法則
a+b=b+a ...交換法則
a(b+c)=ab+ac ...分配法則
ここで、数に今までは大きさしか存在しなかった数に向きを追加します。
よって大きさと向きを持った数を加え、これをベクトルと定義します。
ここでベクトルの加法を考えます。減法は加法にできるので省略(a-b=a+(-b))
ベクトルa+bを考えます。
a+bをどう定義するかという問題になります。
ここで、ベクトルの和を定義する上で、ベクトルはあくまで数です。
なので上の法則がすべて成立するように定義したいです。(同じ数なのにベクトルとスカラーでは計算方法違うとかややこしいじゃないですか。)
すると、a+bはベクトルa,bが張る平行四辺形の方向付きの対角線を和として定義しますと上の法則すべて成立しました。
次に掛け算を考えます。
スカラーa,b,cに対し次の法則が成立する。
ab=ba...交換法則
a(b+c)=ab+ac...分配法則
(a×b)×c=a×(b×c)...結合法則
ここで、ベクトルの積を考えたいのですが、大きさだけなら
古代よりa個で1セットのものをbセット用意した時の個数をa×bと定義する。などいろいろと定義がされてきたのですが、ベクトルは大きさだけでなく向きをもってますので、また別な定義が必要です。
ここで、ベクトル同士の積を定義する時に和同様に上の演算法則が成立するように定義します。
これが内積です。
線形代数によるとこれはスカラーらしいです。
結合法則はa・bの時点でスカラーになるのでベクトルの定数倍の話になるため無視します。
よって内積は
a・b=b・a
a・(b+c)=a・b+a・c
が成立するように定義します。
一方ベクトルとベクトルを掛けてベクトルになるような掛け算を外積と定義します。
こっからは線形代数になるのでなぜかは言いませんが(外積は受験でも使えるから調べたければ調べるのを勧めます。)
外積は
a×b≠b×a...交換法則は不成立
a×(b+c)=a×b+a×c...分配法則成立
(a×b)×c≠a×(b×c)結合法則は不成立
よって
内積とは何か？...数学者が計算しやすいように勝ってに決めた掛け算の事です。
何をしてるかわからない...掛け算をしてるんです
例えば
問題:3×2=？
？に当てはまるものは何か？と言われた場合当然6ですよね。
では3×2は何をした？と言われれば3×2という掛け算をした。としか言えませんよね
自分は何を求めてるかわからないと言われても3×2という掛け算を求めたんですよね。
それと同じです。
問題としては内積を使うのは定義からcosθが出てくるのでθ=(π/2)のときとかに内積は0になったり定義を応用してるので問題では何をやってるか分かりにくいですよね。
ベクトルでの話はこれで終わりです
幾何的な話は前の人が言ってるように内積は正射影の影の長さ×違うベクトルの長さ倍というだけですね。
数学より物理の方が恩恵大きくて、仕事の定義が内積ですし、運動方程式はベクトルで表されてますが速度ベクトルと内積を取ることによってスカラーになるので微積分がやりやすかったり。
