Question

りんご

この問題で余りが漸化式になるという発想が思いつかなかったのですが、どのように考えればいいですか？

3
AO NI
(35点
nを自然数とし,整式x”を整式x2-2x-1で割った余りをαx+bとする
このときaとbは整数であり,さらにそれらをともに割り切る素数は存在しない
ことを示せ.

3
と書
J
x2x-1で割った商を Qn(x), 余りを anx + by とおくと (n = 1, 2, ...),
x=(x2-2x-1)Qn(x)+anx+bn
り立つ、この両辺にxをかけると
+1=x(x2-2.x-1)Qn(x)+anx2+bnx
3 ad D.V
=(x^2-2x-1)xQn(x)+an(x2-2x-1)+an (2x+1) +bnx
=(x²-2x-1){xQn(x)+an}+(2an+bn)x+an
これから,x+1をx2-2x-1で割った余りは(2a+bn)x+an となり,これが
Un+1X + bn+1 に等しいから
(x)0)
Jan+1=2an+bn
d+
・①
(n = 1, 2, ...)
|bn+1 = an
①==
8
また、
x=(x2-2x-1) · 0 + 1 · x + 0
だから, a1= 1, b1 = 0 である.
についての帰納法により,
「an と by が整数であり、これらをともに割り切る素数は存在しない」
ことを示す.
Q1, b1 は整数であり, 1を割り切る素数はないので,これらをともに割り切る素
数は存在しない。
[2] ax と by が整数であり,これらをともに割り切る素数は存在しないとする. ①か
ax+1=2ak+bk, bk+1=ak も整数である. ak+1 と bk+1 をともに割り切る素数
pが存在するならば、
ak=bk+1,0k=ak+1-2ak
= ak+1
-
-2bk+1
185

の右辺がp で割り切れるので,左辺もp で割り切れて帰納法の仮定に反する。ゆえに
ak+1 と bk+1 をともに割り切る素数は存在しない。
以上から、題意が示された.
(証明終わり)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ものぐさ

漸化式になるのが最初から見抜けなかったとしても、任意の整数nで立証しなきゃいけないのはわかるので
a_nとかb_nになるっていうのは自然な発想だし
この手の任意のnについての問題について分からないならn=1,2,3,4と具体的に調べてみるのは試行錯誤の行程で最初にすることであって
そこまでしたらあまりだけ計算したら商の方全く弄らなくていいなって普通は気がつくと思います。

りんご

回答ありがとうございます！教えてくださった

そこまでしたらあまりだけ計算したら商の方全く弄らなくていいなって普通は気がつくと思います。

の部分が少し分からないのですが、もう少し詳しく教えていただくことは可能でしょうか？？

ものぐさ

実際にn=1,2,3,4の時計算してみましたか？

りんご

してみました！理解出来ました！回答ありがとうございました！

ものぐさ

余りをひたすら割り算していくだけでいいってのが
実際に手を動かせば気がつくはずです。
この手の作業をサボっていては出来るようになりません。

GDO

発想・連想としては、以下のようになると思います
・aとbが互いに素であることは背理法で示すのかなぁ
・aとbの関係式を何かで表せないかなぁ
・どんな自然数nでも成り立つということか？
　n=kのとき、n=k+1のとき...帰納法で示すのかなぁ
・n=kのとき、n=k+1を計算してみたら、漸化式になっていることに気づく
という感じでしょう。（n=0,1,2,3,...でやってみる方が、分かりやすいでしょう）
また、
・xⁿより下の項を除していくと（xⁿ⁻¹以下の項はないと）、各桁の商の計算は漸化式的になる（常に余りを割っていく）ことを知っていると、漸化式が思いつくかもしれません。

いずれにしてもたくさんの練習（経験）が必要でしょう。
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私は、この問題を読んだときに意味が分からず解けなかったです。
「それらをともに割り切る素数」の”それら”ってなにを指してるのか、ちんぷんかんぷんでした。
解説を見て、問題の意味を理解できましたが、意味が分かっても試験中に解けそうにありません。

りんご

なるほど！理解しました！お二方とも沢山教えていただきありがとうございます！すごく参考になりました！