Question

Haru

積分の問題です。
多項式f（x）の次数を求め、式を文字を使って表し、係数を比較するといったよくみる問題です。
質問の内容は写真の２枚目にある青線部「これは第3式満たす」という文についてです。
これが、第3式を満たさないことはありますか？
また、もし仮に満たさなかったとしたら、どうなりますか？
よろしくお願いします🙇

EX
0173
多項式f(x)がxf(x)+S,f(t) dt=2x+x+1 を満たすとき、次の問いに答えよ。
(1)多項式f(x)の次数を求めよ。
(2) 多項式 f(x) を求めよ。
[東北学院大 ]
(1)f(x)の最高次の項をax” (a≠0, nは0以上の整数)とす 多項式の次数は、式に
と, xf'(x)の最高次の項は
x anx"-1=anxn
Sadt=fsic (Cは積分定数) から,
n+1
a
dt の最高次の項は
n+1
x + 1 x + 1
n+1
よって,xf(x)+S,f(t)dt は (n+1) 次の多項式である。
xf'(x)+S,f(t)dt=2x2+x+1 から
含まれる最高次数。
xf'(x), Sf(t) dtの次数
を比較する。
X3
Tr
xf'(x)は次
Sif(t)deは(n+1)次
n+1=2
ゆえに
n=1
したがって, f(x) の次数は 1
◆右辺と左辺の次数を比
較する。
(2) f(x)=ax+ba≠0) とすると
ba+d81
f(x)は1次式
xƒ'(x)+{*ƒ(t)dt=x•a+S„(at+b)dt=ax+[t²+bt]*ts as
ゆえに
a
x+2x² + bx-a-b
= x²+(a+b)x-2-b
1/2x2+(a+b)x-1/2-6=2x²+x+1

これがxについての恒等式であるから
12/23=2,a+b=1,-1/2-b=1
第1式, 第2式から
これは第3式を満たす。
a=4,b=-3
したがって f(x)=4x-3
2式から求めた 4,6
の値が,-12-b=1を
満たすことを確認する。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

哲治

満たさない場合は与式を満たす多項式f(x)が存在しないということになります。
係数比較の式ですが
未知数二個、資金が３個であり、第1,2式から導かれた値は第3式を満たすかは確認しなければなりません。

Haru

ありがとうございます