Question

まかろん

写真の(1)の問題です。
字が汚くて分からないところがあったら申し訳ないのですが、3枚目が私が解いたものです。

私は模範解答のような発想に至らずにAを(x,0)、Bを(X,0)としてAB=ADの式を立てました。

①と書いてあるすぐしたの式は文字を2つ使ってしまったのでXを消すために｢DとCのy座標が同じになる｣という式を立てました。X=の形にできたので①の式に代入して計算を進めたのですが、答えが4つ出てきてしまいました。

複雑な計算だったので計算ミスをしているかもしれませんが、私の求め方では求められないのか(求められない場合はその理由、求められる場合はどこが間違えているのか)を教えてください🙇🏻‍♀️

15 〈図形と最大・最小〉
原点を 0 とする座標平面上に放物線 y=-x+4x がある。この放物線と x 軸で囲まれた部分の中に
長方形 ABCD がある。 点 A, B は x 軸上にあり,点C, Dは放物線上にある。 ただし, 点Aのx座
標は,点Bのx座標より小さいものとする。
(1) AB=AD であるとき,点Aのx座標を求めよ。
(2) 長方形 ABCD の周の長さの最大値と, そのときの点Aのx座標を求めよ。
[広島工大 ]
次の
に答えよ。

1
-challenge 解答編
〈最大値・最小値から係数決定>
ポイント
軸と定義域の位置関係によって場合分け
関の式を変形すると, 軸が直線x=αであるとわか
の値によって軸の位置が変わり、最小値とるxの値が変
れる。
軸が定の[1] 左外 [2] 内 [3] 右外あるときで場合分け
して、最値をαの式で表す。
y=x2-2a+3a を変形すると
=(x-a)2-a2+3a
線 x=a
この2次関数のグラフの軸は
[1] a <0 のと
yはx=0で値34 をと
3a-4 とする。
これはα <0 を満たす。
[2] 0≤a<4のとき
44
a= 3
yはx=αで最小値+3a をとる。
-a2+3a=-4 とすると (a+1)a-4)=0
よって a=-1,
これは 0≤a<4を満たさな
[1]
y
[2]
O
4
x
-a 3a
134
[3] 1.3
a
4
x
また, 2点A,Bは軸x=2について対称であるから(2-2
AB=2(2-4)=4-2a
4-2a=-a2+4a
AB=AD より
すなわち
a2-6a+4=0
よって
- 2/2-21
4.
a=3√5
20
0<a<2であるから
ゆえに,点のx座標は
a=3-√5
3-√5
(1)同様に,点 A の座標を (α, 0) とする。
長方形ABCD の周の長さを1とすると
1=2(AB+AD)
=2{(4−2a)+(-a2+4a)}
[10]
=-2a2+4a+8
8,9
=-2(a-1)^2+10
0<a<2であるから, 1はα=1
で最大値10をとる。
ゆえに, 点のx座標が1のと
き最大値10 をとる。
O
1
2
1 不等式が常に成り立つ条件)
ポイント
グラフが常にy>0 にある条件を考える
(2) 2 不等式 ax2+bx+c > 0 が常に成り立つための条は、関
数y=x2+bx+c のグラフが常にy>0の範囲にあること。
よって,
[1] 40
[2] a>0
[1] [2] のいずれかが成り立つ。
6 = 0 かつc > 0
D=b2-4ac<0
(1) k=1のとき, 等式 (*) は x 2 +3 +1>0
[3] 4≤a とき
yはx4で最小値 -5α+16
をとる
-516 = -4 とすると
a=4
これは4≤a を満たす。
-3±√5
2次方程式x2+3x+ =0の解はx=
であるから,
2
4 a
2次不等式 x2 +3 +1 の解は
O
x
以上から、 求めるαの値は
a=-- 4
3'
-3-√
x<-
2
(2) [1] k=0のとき
不等式 (*) は
2x>0
-5a+16
3+√5
2
-<x
15 〈図形と最大・最小〉
ポイント
条件を式で表す 変数の変域に注意
(1) AB, AD を,点Aのx座標を用いて表す。
-(3k+2xk-2)<0
これは, すべての実数では成立たない。
[2] k0 のとき
2次方程式 kx2++2)x+k=0の別式をDとすると,
2次不等式(*) すべての実数xについて成り立つための条
件は x2係数 k0 かつ D
ここで
D<0 より
=(k+2)2-4kk
=-3k2+4k+4=-(3k+2)k 2)
よって
→
放物線が軸x=2について対称であることを利用。
(3k+2)k-2)>0
(2)周の長さを,点Aのx座標α を用いて表す。
ゆえこ
2
k<- 2<k
の範囲に注意して最大値を求める。
>0の共通範囲を求めて
k>2
(1) y=-x2+4x=(x-2)2+4
y1
[1 [2] から, 求めるkの値の範囲は
k>2
よって, 放物線の軸は直線x=2
である。
D.
ここで, 点Aの座標を (α, 0) と
すると, 点Aのx座標は点Bの
x座標より小さいから, 右の図よ
り 0<a<2
A
B4
O
a 2
x
このとき,点Dの座標は
(a, -α+4a) となるから
AD=-a2+4a
y=-x2+4x
1

D
(900)
A
(x.0)
c (X), _4x)
(X20)
(1) X-x=-1²-4
2
-x²-4x= -x²-4x
-x²-4x-(-x-97-0
X -22√4+x²-4x
X = 27√x²-4x-4
X-2717-21
2718-21-84.
[1] X-230 すなれるx32のとき
27(x-2)-x-x-4x
1)2-4+2Hid
72-67-4.0
7.32√9-9
a
32√9
328=3+√5
11) 277-2---xx
X-47-0
818-9710
X-U. G
X721444
[1] *° 34√, x=4
[2]x2のとき
21 (8-21-8-7497.
11 298-2-8-9
<224 0.0
11) 2
2-
X12x2x
x²-6x140
1:32√5
X<281) A-3-√√5
[[]] [[a]より1
X.0.3±√9.4
4

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

方針は大筋で問題ありません
0<x<2<X<4であることから、答えは3-√5に絞れます

回答は終わりですが、ついでに…
一度自力でやってみるのはよいことで、
間違っていたとしても結論までたどりつけるのも なおよいことですが、
結果として今回の答案は労力が多くて苦労するので、
自力で模範解答の方針で解答できるようにしてください

x座標をa, 4-aとおけなくても致命的ではないですが、
最大の原因はx,Xの範囲を考えていないことです
0<x<2<X<4であることを踏まえないから、
余計な解が残ったり、計算量が増えたり、
余計な場合分けをする羽目になります

手を動かす前に考える時間をもう少し設けてみてください
文字をおいたら、その範囲を定めてください
出てきた値だと実際にどうなるか、確かめをしてみてください