Question

かなかな

(2)です。dy/dxを求める式でtany^2がxの関数であるからxで両辺を微分した時に合成関数の微分からdy/dxが出てくるのはわかるのですが、なんか納得できないです。もう少し細かくここの微分をおしえてほしいです。

2 条件x=tany を満たす, 実数xについて微分可能なxの関数」を考える。 ただし,
π
<yくとする。
2
(1) x=3のとき, yの値を求めよ。
dy
d2y
および
をxの式で表せ。
dx
dx2
しのなその占in

2 解答 (1) y=x
(解説)
(1) x=3のとき
dx
tan?y=3
d²y
3x+1
1
2√x(1+x)dx2
若くりく元であ
であるから
tany < 0
2
よって tany=-√3
ゆえに
y=3'
k
4x√x(1+x)2
(2) x=tany の両辺をxで微分すると 1=2tany.
1 dy
cos2ydx
すなわち
12tany(1+tany) dy
2y)dy
dx
x=tany, tany < 0 から
1=-2√x(1+x) dx
tany=-√x (x>0)
dy
よって
x>0であるから
√x(1+x) * 0
dy
1
ゆえに
==
dx
2√x(1+x)
この両辺をxで微分すると
d2y 1
=--
dx2
2
1 =(1+x) -√x ・1
2√√x
(1+x) +2x
3x+1
{√x(1+x)}2
4x√x (1+x)24x√x (1+x)2

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

単なるxではなく、何かxの関数が入っていれば、
合成関数の微分を考えることになりますね

「2x+1」とか「x²+1」のような、具体的なxの関数でなく、
「y」というxの関数が入っています

かなかな

ありがとうございます！
すっきりしました。