Question

りんご

この問題の式変形がなかなか思いつきません。どのようにすれば思いつくようになりますか？

10. XXX
実数全体の集合を定義域とする定数関数でないxの関数 f(x) が, 次の条件
すべての実数xに対して, f(-x)=-f(x), f(1+x)=f(1-x)
を満たしている。 このとき,次の条件
すべての実数xに対して, f(x+m)=f(x)
を満たすような正の整数mの最小値は
|である。
[18 早稲田大・商]

20 〈関数についての等式から関数の周期を決める〉
2つの等式を用いて,f(x+2), f(x+3), f (x+4) などを調べる。
例えば,等式 f(1+x)=f(1-x) においてxの代わりにx+1 とすると
f(1+(1+x))=f(1-(1+x)) すなわち f(x+2)=f(-x)=-f(x) など
すべての実数x に対して, 関数 f(x) は
f(x)=f(x)... ①, f(1+x) = f(1-x)...... ②
を満たしているから
f(x+2)=f(1+(1+x))=f(1-(1+x))
②のxに1+x を代入し
=f(-x)=-f(x) ...... ③
① ② ③ から
③から
f(x+3)=f((x+1)+2)=-f(x+1)
=-f(1-x)=f(x-1) ...... ④
f(x+4)=f((x+2)+2)=-f(x+2)=f(x) ...... ⑤
[1] f(x+1)=f(x) が成り立つと仮定するとき
xにx+1を代入すると f(x+2)=f(x+1)
仮定より
f(x+2)=f(x)
次に①を使う。
■③のf(x+2)=-f(x)
のxにx+1を代入し,次
に② ①を順に使う。
■ ⑤からは m = 4 と結論で
きない。m=1,2,3でな
いことを確かめる必要があ
る。
③ より
- f(x) = f(x)
ゆえに
f(x)=0
これは,関数 f(x) が定数関数でないことに矛盾するから
f(x+1)=f(x)
[2] f(x+2)=f(x) が成り立つと仮定するとき
−
③ より f(x)=f(x)
ゆえに f(x)=0
これは, 関数 f(x) が定数関数でないことに矛盾するから
f(x+2) f(x)
[3] f(x+3)=f(x) が成り立つと仮定するとき
④より
f(x-1)=f(x)
x に x+1 を代入すると f(x)=f(x+1)
このときも [1] で調べたことにより矛盾が生じるから
f(x+3) f(x)
[1] [2] [3] ⑤ から 求める正の整数の最小値は4である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ものぐさ

図は描きましたか？
f(x)=-f(x)から奇関数で原点を中心に点対称
f(1+x)= f(1-x)からx=1を中心に線対称
この2点は即気がつかないといけません。

「原点を通るのでそれを線対称と点対称で動かしていくとどんどんうまっていきます。ここで全ての整数nでf(n)=0になることにきがつきます。」←結果的にこの結果は必要ないですが…

そうなると0<x<1の間の点がどうなるかきになるようになります。適当に1点とってみてその点が点対称と線対称でどう動くかをどんどん動かしてみます。
(t,f(t))を
線→点→線→点…
点→線→点→線…
って対称操作で動かしてみます。
そこで必ず同じ値になる関係の点が見つかります。
それでm=4の時が答えになりそうだなって確信するのとf(1+x)= f(1-x)を使うとx+mの数字が増えたり減ったりするのを確認していくという作業を両方します。

りんご

なるほど！理解しました！回答ありがとうございました！